与えられた条件を使って問題を解いていきましょう。

Step 1: 知っていることを整理する

角度 $\theta$ が $-\infty \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲にあるとし、$\tan \theta = -2$ です。

$\tan \theta = -2$ ということは、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の比が $-2$ であることを意味します。つまり、$\sin \theta = -2 \cos \theta$ です。

Step 2: 単位円を用いた三角関数の関係式

三角関数の基本的な関係式を使って考えます。 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ したがって、 $(-2 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$ これを解くと、 $4 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ $5 \cos^2 \theta = 1$ $\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$ $\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

次に、$\sin \theta = -2 \cos \theta$ を使って $\sin \theta$ を求めます。 $\sin \theta = -2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ または、 $\sin \theta = -2 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Step 3: 条件に合った解を選ぶ

角度 $\theta$ が第2象限にある場合（90° < $\theta$ ≦ 180°）、$\sin \theta$ は正で、$\cos \theta$ は負でなければなりません。したがって、正しい組み合わせは次の通りです。 $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

Step 4: 求めたい式の値を計算

次に、与えられた式 $\frac{1}{1 - \sin \theta} + \frac{1}{1 + \sin \theta}$ を計算します。 $\frac{1}{1 - \sin \theta} + \frac{1}{1 + \sin \theta} = \frac{(1 + \sin \theta) + (1 - \sin \theta)}{(1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta)}$

分子は $(1 + \sin \theta) + (1 - \sin \theta) = 2$ 分母は $(1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta) = 1 - \sin^2 \theta$

$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ なので、$\sin^2 \theta = \frac{4}{5}$ です。したがって、 $1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$

Step 5: 式の最終的な値

$\frac{1}{1 - \sin \theta} + \frac{1}{1 + \sin \theta} = \frac{2}{\frac{1}{5}} = 2 \times 5 = 10$

したがって、求める値は 10 です。

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三角関数の問題を解く際には、範囲や符号に注意することが重要です。象限に基づいて関数の正負が決まります。