Math Problem Statement
- Buatlah contoh persamaan linier dengan 3 variabel sebanyak 2 soal beserta penyelesaiannya
Solution
Berikut adalah dua contoh soal persamaan linier dengan 3 variabel beserta penyelesaiannya:
Soal 1:
Selesaikan sistem persamaan linier berikut:
2x + y - z = 3 \\ x - y + 2z = 1 \\ 3x + 4y + z = 10 \end{cases}$$ #### Penyelesaian: Kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi untuk menyelesaikan sistem ini. Di sini, kita akan menggunakan metode eliminasi. **Langkah 1: Eliminasi salah satu variabel** Pertama, kita eliminasi variabel $$z$$ dengan menggabungkan persamaan pertama dan kedua. Persamaan pertama adalah: $$2x + y - z = 3 \quad \text{(Persamaan 1)}$$ Persamaan kedua adalah: $$x - y + 2z = 1 \quad \text{(Persamaan 2)}$$ Kita kalikan persamaan pertama dengan 2 dan persamaan kedua dengan 1 agar koefisien $$z$$ dalam kedua persamaan tersebut menjadi sama. $$2(2x + y - z = 3) \Rightarrow 4x + 2y - 2z = 6 \quad \text{(Persamaan 1a)}$$ $$1(x - y + 2z = 1) \Rightarrow x - y + 2z = 1 \quad \text{(Persamaan 2a)}$$ Sekarang kita kurangkan persamaan 1a dan 2a untuk mengeliminasi $$z$$: $$(4x + 2y - 2z) - (x - y + 2z) = 6 - 1$$ $$4x + 2y - 2z - x + y - 2z = 5$$ $$3x + 3y = 5$$ $$x + y = \frac{5}{3} \quad \text{(Persamaan 4)}$$ **Langkah 2: Substitusi ke persamaan lain** Selanjutnya, kita akan substitusi persamaan $$x + y = \frac{5}{3}$$ ke dalam persamaan yang lain untuk mencari nilai $$z$$. Misalkan kita substitusi ke dalam persamaan ketiga $$3x + 4y + z = 10$$: $$3x + 4y + z = 10$$ $$3(x + y) + y + z = 10$$ $$3 \left(\frac{5}{3}\right) + y + z = 10$$ $$5 + y + z = 10$$ $$y + z = 5$$ Dengan substitusi ini, kita dapat menghitung nilai $$y$$ dan $$z$$. ### Soal 2: Selesaikan sistem persamaan linier berikut: $$\begin{cases} 3x - 2y + z = 5 \\ x + y - z = 2 \\ 2x + y + 3z = 12 \end{cases}$$ #### Penyelesaian: Kita akan menggunakan metode eliminasi. **Langkah 1: Eliminasi salah satu variabel** Misalkan kita ingin mengeliminasi variabel $$z$$ dengan cara menggabungkan persamaan pertama dan kedua. Persamaan pertama: $$3x - 2y + z = 5$$ Persamaan kedua: $$x + y - z = 2$$ Menjumlahkan kedua persamaan untuk menghilangkan $$z$$: $$(3x - 2y + z) + (x + y - z) = 5 + 2$$ $$4x - y = 7 \quad \text{(Persamaan 4)}$$ **Langkah 2: Eliminasi lagi** Sekarang kita eliminasi $$z$$ lagi, kali ini dengan persamaan pertama dan ketiga. Persamaan pertama: $$3x - 2y + z = 5$$ Persamaan ketiga: $$2x + y + 3z = 12$$ Mengalikan persamaan pertama dengan 3 dan persamaan ketiga dengan 1 untuk menyamakan koefisien $$z$$: $$3(3x - 2y + z) = 3(5) \Rightarrow 9x - 6y + 3z = 15 \quad \text{(Persamaan 1a)}$$ $$1(2x + y + 3z) = 1(12) \Rightarrow 2x + y + 3z = 12 \quad \text{(Persamaan 3a)}$$ Sekarang kita kurangkan persamaan 1a dan 3a untuk mengeliminasi $$z$$: $$(9x - 6y + 3z) - (2x + y + 3z) = 15 - 12$$ $$7x - 7y = 3$$ $$x - y = \frac{3}{7} \quad \text{(Persamaan 5)}$$ Dengan langkah-langkah ini, kita bisa menemukan nilai $$x$$ dan $$y$$, lalu substitusi kembali untuk mendapatkan $$z$$. Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lainnya? Berikut beberapa pertanyaan untuk memperdalam pemahaman Anda: 1. Apa itu metode eliminasi dalam sistem persamaan linier? 2. Bagaimana cara menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan sistem persamaan linier? 3. Jelaskan perbedaan antara sistem persamaan linier dengan dua variabel dan tiga variabel! 4. Mengapa hasil dari persamaan 4x - y = 7 dan x - y = 3/7 menjadi penting dalam proses penyelesaian? 5. Apa yang terjadi jika tidak ada solusi yang ditemukan dalam sistem persamaan linier? **Tip:** Pastikan untuk selalu memeriksa hasil substitusi atau eliminasi untuk memastikan tidak ada kesalahan perhitungan!Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Equations
Systems of Equations
Algebra
Elimination Method
Substitution Method
Formulas
Linear equation ax + by + cz = d
Elimination method
Substitution method
Theorems
Elimination method theorem
Substitution method theorem
Suitable Grade Level
Grades 9-12
Related Recommendation
Solve System of Linear Equations with Three Variables
Solve a System of Linear Equations: A Step-by-Step Guide
Solving System of Linear Equations: 3x + 5y - 4z = 0, 2x - 3y + z = 5000, -x + 4y + 6z = 13000
Solving Systems of Linear Equations with Three Variables
Solution to a System of Linear Equations with Three Variables