Tentukan penyelesaian matriks dari sistem persamaan linier berikut X-y-2z=4  2x-2y-z=2   3x+y+2z=8

Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan linier ini menggunakan metode matriks, seperti eliminasi Gauss atau metode invers matriks. Langkah-langkah berikut menjelaskan cara menyelesaikannya.

Diberikan sistem persamaan linier:

1. \( x - y - 2z = 4 \)
2. \( 2x - 2y - z = 2 \)
3. \( 3x + y + 2z = 8 \)

### Langkah 1: Representasi Matriks

Sistem persamaan linier ini dapat dituliskan dalam bentuk matriks:

\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 \\
2 & -2 & -1 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4 \\
2 \\
8
\end{pmatrix}
\]

### Langkah 2: Penyelesaian dengan Metode Invers Matriks

Persamaan dalam bentuk matriks ini dapat ditulis sebagai:

\[
A \cdot \mathbf{x} = \mathbf{b}
\]

di mana:

\[
A =
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 \\
2 & -2 & -1 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix},
\quad
\mathbf{x} =
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix},
\quad
\mathbf{b} =
\begin{pmatrix}
4 \\
2 \\
8
\end{pmatrix}
\]

Untuk mendapatkan solusi \( \mathbf{x} \), kita mencari \( A^{-1} \) (invers dari matriks A), kemudian menghitung \( \mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b} \).

Mari saya hitung invers matriks A terlebih dahulu dan kemudian kalikan dengan vektor b.Solusi sistem persamaan linier tersebut adalah:

\[
x = 3, \quad y = 3, \quad z = -2
\]

Ini adalah nilai-nilai yang memenuhi ketiga persamaan.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan terkait langkah-langkah penyelesaiannya?

Berikut beberapa pertanyaan yang relevan:
1. Bagaimana cara menghitung invers matriks secara manual?
2. Apakah ada metode lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier ini?
3. Apa itu eliminasi Gauss dan bagaimana penggunaannya dalam menyelesaikan sistem persamaan linier?
4. Mengapa sistem persamaan linier bisa memiliki solusi unik, tak hingga, atau tidak ada solusi?
5. Apa hubungan antara determinan matriks dan keberadaan invers matriks?

**Tip:** Jika determinan dari suatu matriks adalah nol, matriks tersebut tidak memiliki invers, dan sistem persamaan mungkin tidak memiliki solusi tunggal.

Learn how to solve a system of linear equations represented by X - y - 2z = 4, 2x - 2y - z = 2, and 3x + y + 2z = 8 using matrix inversion. This problem covers key concepts in linear algebra, such as matrix representation and the inverse matrix theorem, and is suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation