方程组  3X+4Y=10， 5X+2Y=6, 求解X，Y的值

我们可以通过代数方法求解这个二元一次方程组。方程组如下：

\[
3X + 4Y = 10 \quad (1)
\]
\[
5X + 2Y = 6 \quad (2)
\]

**步骤 1：消元法**
我们将方程(1)和(2)通过消元法来解。

1. 首先，我们可以通过消去 \( Y \) 来找到 \( X \) 的值。为此，我们需要使两个方程中的 \( Y \) 项的系数相同。为此，给方程(1)乘以2，给方程(2)乘以4，这样两个方程中 \( Y \) 的系数都是8。

\[
2 \times (3X + 4Y) = 2 \times 10 \quad \Rightarrow \quad 6X + 8Y = 20 \quad (3)
\]
\[
4 \times (5X + 2Y) = 4 \times 6 \quad \Rightarrow \quad 20X + 8Y = 24 \quad (4)
\]

**步骤 2：消去Y**
现在我们可以用方程(3)减去方程(4)来消去 \( Y \)：

\[
(6X + 8Y) - (20X + 8Y) = 20 - 24
\]
\[
-14X = -4
\]
\[
X = \frac{-4}{-14} = \frac{2}{7}
\]

**步骤 3：求解Y**
现在我们把 \( X = \frac{2}{7} \) 代入任意一个方程求解 \( Y \)。我们把它代入方程(1)：

\[
3 \times \frac{2}{7} + 4Y = 10
\]
\[
\frac{6}{7} + 4Y = 10
\]
\[
4Y = 10 - \frac{6}{7} = \frac{70}{7} - \frac{6}{7} = \frac{64}{7}
\]
\[
Y = \frac{64}{7} \times \frac{1}{4} = \frac{64}{28} = \frac{16}{7}
\]

**结果：**
解得：
\[
X = \frac{2}{7}, \quad Y = \frac{16}{7}
\]

你有任何问题吗，或者需要进一步的解释吗？

---

**扩展问题：**
1. 如果修改方程组为 \(3X + 4Y = 12\) 和 \(5X + 2Y = 7\)，解的过程会如何变化？
2. 你能使用代入法来求解这个方程组吗？
3. 如果方程的系数是分数，解的步骤会有什么不同？
4. 如果有三个变量的方程组，如何解出所有变量？
5. 在解方程组时，矩阵方法如何运用？

**提示：** 通过代数法解方程组时，选择消元法或代入法，取决于方程的形式。

Learn how to solve the simultaneous linear equations 3X + 4Y = 10 and 5X + 2Y = 6 using the elimination method. This step-by-step solution covers key algebraic concepts, elimination, and substitution methods. Suitable for students in Grades 9-12.

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