Mari kita selesaikan masalah ini langkah demi langkah. Kita memiliki dua fungsi, yaitu fungsi permintaan $D(x)$ dan fungsi biaya total $C(x)$. Kita diminta untuk mencari fungsi pendapatan $R(x)$, laba $P(x)$, dan menentukan nilai $x$ yang menghasilkan keuntungan.

Diketahui:

• Fungsi permintaan: $D(x) = -0.09x + 51$
• Fungsi biaya total: $C(x) = 1.32x^2 + 11.7x + 101.4$

a. Mencari Fungsi Pendapatan $R(x)$ dan Laba $P(x)$

1. Pendapatan $R(x)$:

   Pendapatan adalah hasil kali antara jumlah barang yang diproduksi dan dijual $x$ dengan harga per unit $D(x)$.

   $R(x) = x \cdot D(x)$

   Substitusi fungsi permintaan $D(x)$ ke dalam persamaan pendapatan:

   $R(x) = x \cdot (-0.09x + 51)$

   Sederhanakan:

   $R(x) = -0.09x^2 + 51x$

2. Laba $P(x)$:

   Laba adalah pendapatan dikurangi biaya total.

   $P(x) = R(x) - C(x)$

   Substitusi $R(x)$ dan $C(x)$:

   $P(x) = (-0.09x^2 + 51x) - (1.32x^2 + 11.7x + 101.4)$

   Sederhanakan:

   $P(x) = -0.09x^2 + 51x - 1.32x^2 - 11.7x - 101.4$

   $P(x) = -1.41x^2 + 39.3x - 101.4$

b. Menentukan Nilai $x$ yang Menghasilkan Keuntungan

Keuntungan terjadi ketika $P(x) > 0$, jadi kita perlu mencari nilai $x$ yang memenuhi:

$-1.41x^2 + 39.3x - 101.4 > 0$

Untuk menyelesaikan ini, kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut. Mari kita selesaikan:

$1.41x^2 - 39.3x + 101.4 = 0$

Gunakan rumus kuadrat:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Di mana $a = 1.41$, $b = -39.3$, dan $c = 101.4$. Mari kita hitung nilai $x$.

---

Mari kita selesaikan nilai $x$ menggunakan rumus kuadrat.Diperoleh dua nilai $x$ dari persamaan kuadrat:

• $x_1 \approx 24.995$
• $x_2 \approx 2.877$

Interpretasi Hasil

Untuk menghasilkan keuntungan $P(x) > 0$, nilai $x$ harus berada di antara kedua nilai tersebut, yaitu:

$2.877 < x < 24.995$

Jadi, produksi barang dagangan akan menghasilkan keuntungan jika tingkat produksinya berada dalam interval $x$ antara sekitar 2.877 hingga 24.995 unit.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut, atau ada pertanyaan lain? Berikut 5 pertanyaan yang relevan dengan informasi ini:

1. Bagaimana cara menghitung nilai laba maksimum?
2. Apa pengaruh perubahan harga terhadap keuntungan?
3. Bagaimana cara menghitung titik impas produksi?
4. Apa yang terjadi jika biaya tetap berubah?
5. Bagaimana jika fungsi permintaan berubah menjadi linier dengan kemiringan berbeda?

Tip: Ketika bekerja dengan persamaan kuadrat dalam konteks ekonomi, penting untuk mempertimbangkan interval yang memungkinkan keuntungan, bukan hanya solusi tunggal.