La situazione descritta riguarda la gestione di un appezzamento rettangolare da parte di Giovanni, con varie considerazioni relative al perimetro e alla rete disponibile. Vediamo passo per passo come risolvere le domande.

a) Dimensioni dell'orto di Giovanni

Sappiamo che l'area dell'orto rettangolare è di 75 m² e che la lunghezza della rete disponibile è di 36 m (che corrisponde al perimetro).

Le formule da considerare sono:

• Perimetro di un rettangolo: $P = 2L + 2W$, dove $L$ è la lunghezza e $W$ è la larghezza.
• Area di un rettangolo: $A = L \times W$.

Abbiamo $A = 75 \, \text{m}^2$ e $P = 36 \, \text{m}$.

Dalla formula del perimetro: $2L + 2W = 36 \implies L + W = 18$

Dalla formula dell'area: $L \times W = 75$

Sostituiamo $W = 18 - L$ nella formula dell'area: $L \times (18 - L) = 75$ $L(18 - L) = 75 \implies 18L - L^2 = 75 \implies L^2 - 18L + 75 = 0$

Risolvendo questa equazione quadratica: $L = \frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$ $L = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 300}}{2} = \frac{18 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{18 \pm 4.9}{2}$

Otteniamo due soluzioni approssimative: $L_1 = \frac{18 + 4.9}{2} \approx 11.45 \quad \text{e} \quad L_2 = \frac{18 - 4.9}{2} \approx 6.55$

Quindi, le dimensioni approssimative dell'orto sono:

• Lunghezza: $L_1 \approx 11.45 \, \text{m}$
• Larghezza: $W_1 = 18 - 11.45 \approx 6.55 \, \text{m}$

b) Recintare due orti

Se Giovanni deve recintare anche l'orto del vicino (di dimensioni uguali al suo), si tratta di un rettangolo con il doppio dell'area, ma con un perimetro condiviso.

Possiamo esaminare due casi:

1. Orti affiancati lungo il lato lungo: Si ha un rettangolo di lunghezza doppia e larghezza invariata, quindi le dimensioni saranno $2L \times W$.
   • Il nuovo perimetro sarà: $P = 2(2L + W) = 2(2 \times 11.45 + 6.55)$.
2. Orti affiancati lungo il lato corto: Si ha un rettangolo di lunghezza invariata e larghezza doppia, quindi le dimensioni saranno $L \times 2W$.
   • Il nuovo perimetro sarà: $P = 2(L + 2W) = 2(11.45 + 2 \times 6.55)$.

Calcoliamo entrambi i casi.

c) Se non basta la rete

Se la rete attuale non è sufficiente, Giovanni dovrà acquistarne di più. Confrontiamo i perimetri dei due casi visti in b per determinare quale sia più conveniente e di quanta rete aggiuntiva necessiti.

d) Cancello per accesso all'orto

La larghezza del cancello dipende dal mezzo che Giovanni deve far entrare:

1. Carriola: Generalmente un'apertura di 1 metro è sufficiente.
2. Motoveicolo a tre ruote: Un'apertura di circa 2 metri sarebbe consigliabile.
3. Furgone (35 quintali): Questo richiederebbe un'apertura più grande, generalmente almeno 3 metri per consentire l'ingresso e l'uscita del veicolo.

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Fammi sapere se vuoi i dettagli dei calcoli per i punti successivi. Ecco alcune domande relative:

1. Quali sono i vantaggi di recintare gli orti con un perimetro comune?
2. In che modo varia l'area totale dei due orti quando sono affiancati?
3. Qual è la quantità minima di rete aggiuntiva che Giovanni dovrebbe acquistare per recintare entrambi gli orti?
4. Come varia il perimetro totale a seconda di come vengono affiancati gli orti?
5. Quali altri fattori dovrebbe considerare Giovanni nella scelta del cancello?

Tip: Per problemi di ottimizzazione, è sempre utile scrivere le equazioni e risolverle in termini generali prima di inserire i dati.