Давайте решим данное уравнение:

$\frac{x}{x+3} + \frac{5}{x^2 - 9} = -3$

Шаг 1: Упростим выражение $\frac{5}{x^2 - 9}$. Обратим внимание, что $x^2 - 9$ можно разложить на множители, так как это разность квадратов:

$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$\frac{x}{x+3} + \frac{5}{(x+3)(x-3)} = -3$

Шаг 2: Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x+3)(x-3)$:

$\frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{5}{(x+3)(x-3)} = -3$

Теперь объединяем дроби:

$\frac{x(x-3) + 5}{(x+3)(x-3)} = -3$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2 - 3x + 5}{(x+3)(x-3)} = -3$

Шаг 3: Умножим обе части уравнения на $(x+3)(x-3)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^2 - 3x + 5 = -3(x+3)(x-3)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x^2 - 3x + 5 = -3(x^2 - 9)$

$x^2 - 3x + 5 = -3x^2 + 27$

Шаг 4: Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$x^2 - 3x + 5 + 3x^2 - 27 = 0$

$4x^2 - 3x - 22 = 0$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение $4x^2 - 3x - 22 = 0$ с помощью дискриминанта. В этом уравнении:

• $a = 4$
• $b = -3$
• $c = -22$

Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-22)$

$D = 9 + 352 = 361$

Корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$

Теперь найдем корни:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x = \frac{3 \pm 19}{8}$

1. Первый корень:

$x_1 = \frac{3 + 19}{8} = \frac{22}{8} = \frac{11}{4}$

2. Второй корень:

$x_2 = \frac{3 - 19}{8} = \frac{-16}{8} = -2$

Ответ: $x = \frac{11}{4}$ или $x = -2$.

Есть ли вопросы или требуется более подробное объяснение?

Вот 5 связанных вопросов для дальнейшей практики:

1. Как решать квадратные уравнения с комплексными корнями?
2. Как применять формулу разности квадратов в других уравнениях?
3. Как определить область допустимых значений для дробных уравнений?
4. Как решать уравнения с переменными в знаменателе?
5. Как находить корни многочленов с помощью дискриминанта?

Совет: Всегда проверяйте область допустимых значений в дробных уравнениях, чтобы исключить недопустимые корни.