Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = x^2 + 2x + 4 \) zu berechnen, setzen wir \( f(x) = 0 \) und lösen die quadratische Gleichung:

\[
x^2 + 2x + 4 = 0
\]

Diese Gleichung hat die Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Koeffizienten \( a = 1 \), \( b = 2 \), und \( c = 4 \). Die Lösung einer quadratischen Gleichung kann durch die Mitternachtsformel gefunden werden:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

### Schritt 1: Diskriminante berechnen
Berechnen wir zuerst die Diskriminante \( D = b^2 - 4ac \):

\[
D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12
\]

Da die Diskriminante negativ ist (\( D < 0 \)), gibt es keine reellen Nullstellen. Stattdessen erhalten wir zwei komplexe Lösungen.

### Schritt 2: Komplexe Lösungen berechnen
Wir berechnen nun die komplexen Nullstellen:

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{12} \cdot i}{2}
\]

Da \( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \), ergibt sich:

\[
x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3} \cdot i}{2}
\]

Vereinfachen wir weiter:

\[
x = -1 \pm \sqrt{3} \cdot i
\]

### Ergebnis
Die Nullstellen der Funktion sind:

\[
x_1 = -1 + \sqrt{3} \cdot i \quad \text{und} \quad x_2 = -1 - \sqrt{3} \cdot i
\]

Haben Sie Fragen zu den Rechenschritten oder möchten Sie Details zu komplexen Zahlen?

**Relative Fragen:**
1. Wie finde ich die Nullstellen bei anderen quadratischen Funktionen?
2. Wann führt eine negative Diskriminante zu komplexen Lösungen?
3. Was bedeutet die Diskriminante in der quadratischen Gleichung?
4. Wie vereinfacht man Wurzeln in komplexen Ausdrücken?
5. Wann kann man die Mitternachtsformel anwenden?

**Tipp:** Bei negativen Diskriminanten entstehen immer komplexe Lösungen in der Form \( a \pm bi \).

Learn how to find the roots of the quadratic equation f(x) = x^2 + 2x + 4 using the quadratic formula. This problem explores key algebraic concepts, including complex numbers, the discriminant, and solving quadratic equations with no real solutions. Suitable for students in Grades 9-11.

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