Math Problem Statement

finde die nullstellen von f(x)=x^2+2x+4

Solution

Um die Nullstellen der Funktion f(x)=x2+2x+4f(x) = x^2 + 2x + 4 zu berechnen, setzen wir f(x)=0f(x) = 0 und lösen die quadratische Gleichung:

x2+2x+4=0x^2 + 2x + 4 = 0

Diese Gleichung hat die Form ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 mit den Koeffizienten a=1a = 1, b=2b = 2, und c=4c = 4. Die Lösung einer quadratischen Gleichung kann durch die Mitternachtsformel gefunden werden:

x=b±b24ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Schritt 1: Diskriminante berechnen

Berechnen wir zuerst die Diskriminante D=b24acD = b^2 - 4ac:

D=22414=416=12D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12

Da die Diskriminante negativ ist (D<0D < 0), gibt es keine reellen Nullstellen. Stattdessen erhalten wir zwei komplexe Lösungen.

Schritt 2: Komplexe Lösungen berechnen

Wir berechnen nun die komplexen Nullstellen:

x=2±1221=2±12i2x = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{12} \cdot i}{2}

Da 12=23\sqrt{12} = 2\sqrt{3}, ergibt sich:

x=2±23i2x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3} \cdot i}{2}

Vereinfachen wir weiter:

x=1±3ix = -1 \pm \sqrt{3} \cdot i

Ergebnis

Die Nullstellen der Funktion sind:

x1=1+3iundx2=13ix_1 = -1 + \sqrt{3} \cdot i \quad \text{und} \quad x_2 = -1 - \sqrt{3} \cdot i

Haben Sie Fragen zu den Rechenschritten oder möchten Sie Details zu komplexen Zahlen?

Relative Fragen:

  1. Wie finde ich die Nullstellen bei anderen quadratischen Funktionen?
  2. Wann führt eine negative Diskriminante zu komplexen Lösungen?
  3. Was bedeutet die Diskriminante in der quadratischen Gleichung?
  4. Wie vereinfacht man Wurzeln in komplexen Ausdrücken?
  5. Wann kann man die Mitternachtsformel anwenden?

Tipp: Bei negativen Diskriminanten entstehen immer komplexe Lösungen in der Form a±bia \pm bi.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Algebra
Quadratic Equations
Complex Numbers

Formulas

Quadratic equation formula ax^2 + bx + c = 0
Discriminant D = b^2 - 4ac
Complex root formula for negative discriminants

Theorems

Quadratic formula
Discriminant theorem

Suitable Grade Level

Grades 9-11