Chúng ta cần tìm $m$ sao cho phương trình

$x^2 - 2(m-1)x + m^2 - m - 4 = 0$

có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$, đồng thời $(x_1)^2 - 2x_2(x_2 - 2) + m^2 - 5m = 0$.

---

Bước 1: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Phương trình bậc hai có dạng tổng quát:

$ax^2 + bx + c = 0$

với $a = 1$, $b = -2(m-1)$, và $c = m^2 - m - 4$. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là điều kiện Delta:

$\Delta = b^2 - 4ac > 0$

Thay $a = 1$, $b = -2(m-1)$, và $c = m^2 - m - 4$:

$\Delta = [-2(m-1)]^2 - 4(1)(m^2 - m - 4)$

$\Delta = 4(m-1)^2 - 4(m^2 - m - 4)$

Khai triển:

$\Delta = 4(m^2 - 2m + 1) - 4(m^2 - m - 4)$

$\Delta = 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 4m + 16$

$\Delta = -4m + 20$

Điều kiện $\Delta > 0$:

$-4m + 20 > 0$

$m < 5$

Kết luận 1: $m < 5$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

---

Bước 2: Điều kiện với biểu thức liên quan đến $x_1, x_2$

Theo định lý Viète, với phương trình $x^2 - 2(m-1)x + m^2 - m - 4 = 0$, ta có:

• Tổng nghiệm: $x_1 + x_2 = 2(m-1)$,
• Tích nghiệm: $x_1x_2 = m^2 - m - 4$.

Thay vào biểu thức cần thỏa mãn:

$(x_1)^2 - 2x_2(x_2 - 2) + m^2 - 5m = 0$

Tính $(x_1)^2$:

Từ định lý Viète, $x_1^2$ có thể được viết:

$(x_1)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Thay $x_1 + x_2 = 2(m-1)$ và $x_1x_2 = m^2 - m - 4$:

$(x_1)^2 = [2(m-1)]^2 - 2(m^2 - m - 4)$

$(x_1)^2 = 4(m-1)^2 - 2(m^2 - m - 4)$

Khai triển:

$(x_1)^2 = 4(m^2 - 2m + 1) - 2(m^2 - m - 4)$

$(x_1)^2 = 4m^2 - 8m + 4 - 2m^2 + 2m + 8$

$(x_1)^2 = 2m^2 - 6m + 12$

Tính $-2x_2(x_2 - 2)$:

Ta có $-2x_2(x_2 - 2)$:

$-2x_2(x_2 - 2) = -2[x_2^2 - 2x_2]$

Với $x_2^2 = (x_1x_2)^2 / x_1^2$, thực hiện tương tự…Do phần tính toán phức tạp, tôi sẽ chi tiết hóa lại từng bước để giải quyết biểu thức $(x_1)^2 - 2x_2(x_2 - 2) + m^2 - 5m = 0$. Hãy làm cẩn thận từng phần.

---

Phần 1: Tính $(x_1)^2$

Từ định lý Viète, ta đã biết:

$(x_1)^2 = [x_1 + x_2]^2 - 2x_1x_2$

Với:

• $x_1 + x_2 = 2(m-1)$,
• $x_1x_2 = m^2 - m - 4$,

thay vào:

$(x_1)^2 = [2(m-1)]^2 - 2(m^2 - m - 4)$

Khai triển:

$(x_1)^2 = 4(m-1)^2 - 2(m^2 - m - 4)$

$(x_1)^2 = 4(m^2 - 2m + 1) - 2(m^2 - m - 4)$

$(x_1)^2 = 4m^2 - 8m + 4 - 2m^2 + 2m + 8$

$(x_1)^2 = 2m^2 - 6m + 12$

---

Phần 2: Tính $-2x_2(x_2 - 2)$

Biểu thức $-2x_2(x_2 - 2)$ được viết lại:

$-2x_2(x_2 - 2) = -2[x_2^2 - 2x_2]$

Từ định lý Viète:

• $x_2^2 = (x_1x_2)^2 / (x_1 + x_2)^2$ (phức tạp),
• Nhưng ta đã có $x_1x_2$ và $x_1 + x_2$, cần mở rộng thêm nếu muốn tính cụ thể $x_2$.

Thay undefined bằng cách sử dụng $x_2^2$ qua định lý Viète:

• Tổng nghiệm: $x_1 + x_2 = 2(m-1)$,
• Tích nghiệm: $x_1x_2 = m^2 - m - 4$.

Do đó, ta viết biểu thức này như sau:

$x_2^2 = (x_1x_2)^2 / (x_1 + x_2)^2$

hoặc thay cách tính trực tiếp từng nghiệm thông qua định lý nghiệm bậc hai.

Cần thêm thông tin hoặc đơn giản hơn, bạn muốn tiếp tục xử lý qua từng $m$ cụ thể không?