Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $x^3 - x^2 - x + 1 > 0$, kita perlu mengikuti beberapa langkah, mulai dari menemukan akar persamaan polinomial hingga menentukan tanda dari setiap interval hasil.

Langkah 1: Menyelesaikan persamaan $x^3 - x^2 - x + 1 = 0$

Kita mencari akar dari persamaan ini menggunakan metode substitusi atau faktorisasi, jika memungkinkan.

Coba substitusi nilai-nilai sederhana untuk $x$:

• Untuk $x = 1$: $1^3 - 1^2 - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$ Jadi, $x = 1$ adalah salah satu akarnya.

Langkah 2: Faktorisasi polinomial

Karena $x = 1$ adalah akar dari persamaan, kita bisa memfaktorkan $x^3 - x^2 - x + 1$ sebagai $(x - 1)(\text{polinomial kuadrat})$.

Untuk menemukan faktor yang tersisa, kita bagi $x^3 - x^2 - x + 1$ dengan $(x - 1)$ menggunakan pembagian polinomial:

$x^3 - x^2 - x + 1 \div (x - 1)$

Hasilnya adalah:

$x^3 - x^2 - x + 1 = (x - 1)(x^2 - 1)$

Selanjutnya, kita faktorkan $x^2 - 1$ menjadi $(x - 1)(x + 1)$, sehingga kita mendapatkan:

$x^3 - x^2 - x + 1 = (x - 1)^2 (x + 1)$

Langkah 3: Menyelesaikan pertidaksamaan

Kita sekarang menyelesaikan pertidaksamaan:

$(x - 1)^2 (x + 1) > 0$

Akar-akar dari persamaan ini adalah $x = 1$ dan $x = -1$.

Selanjutnya, kita periksa tanda dari polinomial ini di setiap interval yang dibatasi oleh akar-akarnya: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, dan $(1, \infty)$.

• Untuk $x < -1$, misalkan $x = -2$: $(-2 - 1)^2 (-2 + 1) = 9 \times (-1) = -9 \quad \text{(negatif)}$
• Untuk $-1 < x < 1$, misalkan $x = 0$: $(0 - 1)^2 (0 + 1) = 1 \times 1 = 1 \quad \text{(positif)}$
• Untuk $x > 1$, misalkan $x = 2$: $(2 - 1)^2 (2 + 1) = 1 \times 3 = 3 \quad \text{(positif)}$

Langkah 4: Menentukan himpunan penyelesaian

Dari analisis tanda, pertidaksamaan $(x - 1)^2 (x + 1) > 0$ bernilai positif pada interval $(-1, 1)$ dan $(1, \infty)$. Namun, pada $x = 1$, polinomial bernilai nol karena faktor kuadratnya.

Maka, himpunan penyelesaiannya adalah:

$(-1, 1) \cup (1, \infty)$

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut tentang langkah-langkah ini?

Berikut adalah 5 soal terkait:

1. Tentukan himpunan penyelesaian untuk $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 > 0$.
2. Bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat $x^2 - 4x + 3 < 0$?
3. Tentukan akar-akar dari $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0$.
4. Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional $\frac{2x - 1}{x + 3} \geq 0$?
5. Tentukan penyelesaian dari $x^3 - 3x + 2 = 0$.

Tip: Saat menyelesaikan pertidaksamaan polinomial, sangat penting untuk memperhatikan tanda dari setiap faktor di berbagai interval.