Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan berikut x ^ 3 - x ^ 2 - x + 1 > 0

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \( x^3 - x^2 - x + 1 > 0 \), kita perlu mengikuti beberapa langkah, mulai dari menemukan akar persamaan polinomial hingga menentukan tanda dari setiap interval hasil.

### Langkah 1: Menyelesaikan persamaan \( x^3 - x^2 - x + 1 = 0 \)
Kita mencari akar dari persamaan ini menggunakan metode substitusi atau faktorisasi, jika memungkinkan.

Coba substitusi nilai-nilai sederhana untuk \( x \):

- Untuk \( x = 1 \):
  \[
  1^3 - 1^2 - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0
  \]
  Jadi, \( x = 1 \) adalah salah satu akarnya.

### Langkah 2: Faktorisasi polinomial
Karena \( x = 1 \) adalah akar dari persamaan, kita bisa memfaktorkan \( x^3 - x^2 - x + 1 \) sebagai \( (x - 1)(\text{polinomial kuadrat}) \).

Untuk menemukan faktor yang tersisa, kita bagi \( x^3 - x^2 - x + 1 \) dengan \( (x - 1) \) menggunakan pembagian polinomial:

\[
x^3 - x^2 - x + 1 \div (x - 1)
\]

Hasilnya adalah:

\[
x^3 - x^2 - x + 1 = (x - 1)(x^2 - 1)
\]

Selanjutnya, kita faktorkan \( x^2 - 1 \) menjadi \( (x - 1)(x + 1) \), sehingga kita mendapatkan:

\[
x^3 - x^2 - x + 1 = (x - 1)^2 (x + 1)
\]

### Langkah 3: Menyelesaikan pertidaksamaan
Kita sekarang menyelesaikan pertidaksamaan:

\[
(x - 1)^2 (x + 1) > 0
\]

Akar-akar dari persamaan ini adalah \( x = 1 \) dan \( x = -1 \).

Selanjutnya, kita periksa tanda dari polinomial ini di setiap interval yang dibatasi oleh akar-akarnya: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1) \), dan \( (1, \infty) \).

- Untuk \( x < -1 \), misalkan \( x = -2 \):
  \[
  (-2 - 1)^2 (-2 + 1) = 9 \times (-1) = -9 \quad \text{(negatif)}
  \]
- Untuk \( -1 < x < 1 \), misalkan \( x = 0 \):
  \[
  (0 - 1)^2 (0 + 1) = 1 \times 1 = 1 \quad \text{(positif)}
  \]
- Untuk \( x > 1 \), misalkan \( x = 2 \):
  \[
  (2 - 1)^2 (2 + 1) = 1 \times 3 = 3 \quad \text{(positif)}
  \]

### Langkah 4: Menentukan himpunan penyelesaian
Dari analisis tanda, pertidaksamaan \( (x - 1)^2 (x + 1) > 0 \) bernilai positif pada interval \( (-1, 1) \) dan \( (1, \infty) \). Namun, pada \( x = 1 \), polinomial bernilai nol karena faktor kuadratnya.

Maka, himpunan penyelesaiannya adalah:

\[
(-1, 1) \cup (1, \infty)
\]

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut tentang langkah-langkah ini?

Berikut adalah 5 soal terkait:
1. Tentukan himpunan penyelesaian untuk \( x^3 + 2x^2 - 5x - 6 > 0 \).
2. Bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat \( x^2 - 4x + 3 < 0 \)?
3. Tentukan akar-akar dari \( x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0 \).
4. Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional \( \frac{2x - 1}{x + 3} \geq 0 \)?
5. Tentukan penyelesaian dari \( x^3 - 3x + 2 = 0 \).

**Tip:** Saat menyelesaikan pertidaksamaan polinomial, sangat penting untuk memperhatikan tanda dari setiap faktor di berbagai interval.

Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan berikut x^3 - x^2 - x + 1 > 0

Discover how to solve the polynomial inequality x^3 - x^2 - x + 1 > 0 with a detailed step-by-step solution. This problem involves factoring a cubic polynomial and analyzing the sign of the factors across intervals. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation