Mamy dane wielomiany:

1. $P(x) = (x - 3)^3$
2. $W(x) = x^2 + (a - 5)x^2 - 3bx - 27$

Chcemy ustalić warunki, w których $P(x) = W(x)$.

---

1. Rozwinięcie wielomianu $P(x)$:

$P(x) = (x - 3)^3$

Rozwinięcie za pomocą wzoru na sześcian różnicy: $P(x) = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3$ $P(x) = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

---

2. Rozwinięcie wielomianu $W(x)$:

$W(x) = x^2 + (a - 5)x^2 - 3bx - 27$

Grupujemy podobne wyrazy: $W(x) = (1 + a - 5)x^2 - 3bx - 27$ $W(x) = (a - 4)x^2 - 3bx - 27$

---

3. Równanie $P(x) = W(x)$:

Mamy równanie: $x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = (a - 4)x^2 - 3bx - 27$

Porównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach $x$:

• Przy $x^3$: Po lewej stronie jest $1$, a po prawej $0$. Wynika z tego: $a = 4$
• Przy $x^2$: Po lewej stronie jest $-9$, a po prawej $(a - 4)$. Po podstawieniu $a = 4$: $-9 = 4 - 4$ (warunek spełniony).
• Przy $x$: Po lewej stronie jest $27$, a po prawej $-3b$. Mamy: $27 = -3b \implies b = -9$
• Wyraz wolny: $-27 = -27$ (zgodne).

---

4. Odpowiedź:

Wielomiany $P(x) = W(x)$, gdy: $a = 4 \quad \text{oraz} \quad b = -9$

---

Czy mogę coś wyjaśnić? 😊

Pytania do dalszego zbadania:

1. Jak zmieniają się współczynniki wielomianu $W(x)$, gdy $a$ i $b$ przyjmują inne wartości?
2. Jakie są miejsca zerowe $P(x)$ i $W(x)$ przy tych warunkach?
3. Jak wygląda graficzne porównanie wielomianów ( P