放射物D・・・y=ax²（a＞0）があり、D上にx座標が正の点Rとx座標が負の点Sがある。直線RSの傾きが4、切片が8で、三角形ORSの面積は8√5であるとする。R、Sのx座標をそれぞれr,sとすると、rs=□（r＋s）となる。□に当てはまる数を求めろ

問題を整理します。

放物線 \( D : y = ax^2 \) 上に、点 \( R(r, ar^2) \) と点 \( S(s, as^2) \) が存在し、直線 \( RS \) の傾きが4、切片が8です。また、三角形 \( ORS \) の面積は \( 8\sqrt{5} \) です。

まず、直線 \( RS \) の方程式を確認します。直線の傾きが4、切片が8なので、直線 \( RS \) の方程式は次のように書けます：
\[
y = 4x + 8
\]

次に、点 \( R(r, ar^2) \) と点 \( S(s, as^2) \) がこの直線上にあるため、それぞれの座標をこの直線の方程式に代入します。これにより、次の2つの方程式が得られます。

1. \( ar^2 = 4r + 8 \)
2. \( as^2 = 4s + 8 \)

これらの2つの式を整理します。

### 式1の整理：
\[
ar^2 = 4r + 8
\]
\[
ar^2 - 4r - 8 = 0 \tag{1}
\]

### 式2の整理：
\[
as^2 = 4s + 8
\]
\[
as^2 - 4s - 8 = 0 \tag{2}
\]

次に、三角形 \( ORS \) の面積について考えます。三角形の面積は次の公式で与えられます。
\[
\text{面積} = \frac{1}{2} \left| r \cdot as^2 - s \cdot ar^2 \right|
\]

これを計算します。
\[
\text{面積} = \frac{1}{2} \left| a(rs^2 - sr^2) \right| = \frac{1}{2} \left| a(r-s)(s+r)rs \right|
\]
与えられた面積は \( 8\sqrt{5} \) なので、次の式が成り立ちます。
\[
\frac{1}{2} \left| a(r-s)(s+r)rs \right| = 8\sqrt{5}
\]
両辺を2倍して整理すると、
\[
\left| a(r-s)(r+s)rs \right| = 16\sqrt{5} \tag{3}
\]

次に、\( rs = □ (r + s) \) の形の式を導くために、具体的な \( rs \) と \( r+s \) の関係を求める必要があります。ここまでの情報を使って計算を続けますが、いくつかのパラメータの詳細が不足しているため、それらを考慮しながら進めます。

This problem involves finding the relationship between the x-coordinates of points R and S on a parabola where the line through them has a given slope and intercept. Using quadratic equations and the triangle area formula, this solution is ideal for advanced high school students (Grades 10-12).

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