Dada la ecuación:

$\log_2(y) \cdot \log(y) = 3 \log 2 + 2 \log(y)$

El objetivo es encontrar los posibles valores de $y$. Vamos a resolver la ecuación paso a paso.

Paso 1: Usa propiedades de logaritmos

Sabemos que:

• $\log_a(b)$ es el logaritmo de $b$ en base $a$, pero cuando no se indica la base (como en $\log(y)$), se asume que es la base 10.
• $\log_2(2) = 1$.

Escribamos la ecuación de forma más clara:

$\log_2(y) \cdot \log(y) = 3 \log 2 + 2 \log(y)$

Sabemos que $\log_2(2) = 1$, entonces $3 \log 2 = 3$.

La ecuación ahora es:

$\log_2(y) \cdot \log(y) = 3 + 2 \log(y)$

Paso 2: Sustituye $\log_2(y)$

Sabemos que $\log_2(y) = \frac{\log(y)}{\log(2)}$ usando el cambio de base. Ahora sustituimos esto en la ecuación:

$\frac{\log(y)}{\log(2)} \cdot \log(y) = 3 + 2 \log(y)$

$\frac{[\log(y)]^2}{\log(2)} = 3 + 2 \log(y)$

Paso 3: Multiplica por $\log(2)$

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por $\log(2)$ para eliminar el denominador:

$[\log(y)]^2 = \log(2) (3 + 2 \log(y))$

Paso 4: Desarrolla la ecuación

Distribuimos el $\log(2)$:

$[\log(y)]^2 = 3 \log(2) + 2 \log(2) \log(y)$

$[\log(y)]^2 = 3 \log(2) + 2 \log(2) \log(y)$

Paso 5: Reorganiza la ecuación

Reorganizamos los términos para tener una ecuación cuadrática en $\log(y)$:

$[\log(y)]^2 - 2 \log(2) \log(y) - 3 \log(2) = 0$

Paso 6: Resuelve la ecuación cuadrática

Esta es una ecuación cuadrática en $\log(y)$ de la forma:

$a [\log(y)]^2 + b \log(y) + c = 0$

donde:

• $a = 1$,
• $b = -2 \log(2)$,
• $c = -3 \log(2)$.

Ahora usamos la fórmula general para resolverla:

$\log(y) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Sustituimos los valores de $a$, $b$ y $c$:

$\log(y) = \frac{-(-2 \log(2)) \pm \sqrt{(-2 \log(2))^2 - 4(1)(-3 \log(2))}}{2(1)}$

$\log(y) = \frac{2 \log(2) \pm \sqrt{4 [\log(2)]^2 + 12 \log(2)}}{2}$

Simplificamos:

$\log(y) = \frac{2 \log(2) \pm \sqrt{\log(2)(4 \log(2) + 12)}}{2}$

Factorizamos el término bajo la raíz:

$\log(y) = \frac{2 \log(2) \pm \sqrt{\log(2)(4 \log(2) + 12)}}{2}$

Calculamos el valor de $\log(y)$.

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¿Te gustaría que continúe con los cálculos específicos para determinar los posibles valores de $y$?

Aquí tienes algunas preguntas que podrían interesarte:

1. ¿Qué son las propiedades de los logaritmos más comunes?
2. ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática de manera general?
3. ¿Cuál es la diferencia entre el logaritmo natural y el logaritmo en base 10?
4. ¿Qué significa la propiedad del cambio de base en logaritmos?
5. ¿Qué otras aplicaciones tienen los logaritmos en matemáticas?

Tip: Las ecuaciones logarítmicas pueden transformarse en ecuaciones cuadráticas, como en este caso, para facilitar su resolución.