Math Problem Statement

resuelve explicando en español

Solution

Voy a resolver las dos funciones que aparecen en la imagen. Te explicaré paso a paso en español.

e) f(x)=ln(x3ex)f(x) = \ln\left(\frac{x}{3} \cdot e^{-x}\right)

Paso 1: Simplificación dentro del logaritmo

La función que tenemos es f(x)=ln(x3ex)f(x) = \ln\left(\frac{x}{3} \cdot e^{-x}\right). Vamos a simplificar la expresión dentro del logaritmo.

El producto dentro del logaritmo se puede expresar como la suma de dos logaritmos: f(x)=ln(x3)+ln(ex)f(x) = \ln\left(\frac{x}{3}\right) + \ln\left(e^{-x}\right)

Paso 2: Aplicando propiedades del logaritmo

Sabemos que ln(ab)=ln(a)ln(b)\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) y ln(ea)=a\ln(e^a) = a. Aplicamos estas propiedades:

f(x)=ln(x)ln(3)xf(x) = \ln(x) - \ln(3) - x

Resultado final: f(x)=ln(x)xln(3)f(x) = \ln(x) - x - \ln(3)

Esta es la forma simplificada de la función f(x)f(x).

f) f(x)=arctg(8x2+7x)f(x) = \arctg(-8x^2 + 7x)

Paso 1: Identificación de la función

Aquí, f(x)f(x) es una función compuesta que involucra la función arco tangente (arctg o arctan) y un polinomio cuadrático. La función arctg (o arctan) es la función inversa de la tangente.

Paso 2: Interpretación

Dado que f(x)=arctg(8x2+7x)f(x) = \arctg(-8x^2 + 7x), la función simplemente devuelve el ángulo cuyo valor de tangente es 8x2+7x-8x^2 + 7x.

No hay una simplificación adicional para esta función ya que la función arco tangente es la función más simplificada posible.

Resultado final: f(x)=arctg(8x2+7x)f(x) = \arctg(-8x^2 + 7x)

Si tienes más preguntas o necesitas más detalles, estaré encantado de ayudarte.


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Consejo: Cuando trabajes con logaritmos, es útil recordar las propiedades fundamentales como la suma, diferencia, y la propiedad de la potencia para simplificar la expresión.

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