https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1725010868443782cqr1x.jpg

Voy a resolver las dos funciones que aparecen en la imagen. Te explicaré paso a paso en español.

### e) \( f(x) = \ln\left(\frac{x}{3} \cdot e^{-x}\right) \)

**Paso 1: Simplificación dentro del logaritmo**

La función que tenemos es \( f(x) = \ln\left(\frac{x}{3} \cdot e^{-x}\right) \). Vamos a simplificar la expresión dentro del logaritmo. 

El producto dentro del logaritmo se puede expresar como la suma de dos logaritmos:
\[
f(x) = \ln\left(\frac{x}{3}\right) + \ln\left(e^{-x}\right)
\]

**Paso 2: Aplicando propiedades del logaritmo**

Sabemos que \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) \) y \( \ln(e^a) = a \). Aplicamos estas propiedades:

\[
f(x) = \ln(x) - \ln(3) - x
\]

**Resultado final:**
\[
f(x) = \ln(x) - x - \ln(3)
\]

Esta es la forma simplificada de la función \( f(x) \).

### f) \( f(x) = \arctg(-8x^2 + 7x) \)

**Paso 1: Identificación de la función**

Aquí, \( f(x) \) es una función compuesta que involucra la función arco tangente (arctg o arctan) y un polinomio cuadrático. La función arctg (o arctan) es la función inversa de la tangente.

**Paso 2: Interpretación**

Dado que \( f(x) = \arctg(-8x^2 + 7x) \), la función simplemente devuelve el ángulo cuyo valor de tangente es \( -8x^2 + 7x \).

No hay una simplificación adicional para esta función ya que la función arco tangente es la función más simplificada posible.

**Resultado final:**
\[
f(x) = \arctg(-8x^2 + 7x)
\]

Si tienes más preguntas o necesitas más detalles, estaré encantado de ayudarte.

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**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se derivaría la función \( f(x) = \ln\left(\frac{x}{3} \cdot e^{-x}\right) \)?
2. ¿Qué propiedades del logaritmo son útiles para simplificar expresiones como la de la función \( f(x) \)?
3. ¿Cómo se evalúa la función arco tangente \( \arctg(x) \) para valores específicos de \( x \)?
4. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la función \( f(x) = \arctg(-8x^2 + 7x) \)?
5. ¿Cómo afecta el signo negativo en \( \arctg(-x) \) al valor de la función?

**Consejo:** Cuando trabajes con logaritmos, es útil recordar las propiedades fundamentales como la suma, diferencia, y la propiedad de la potencia para simplificar la expresión.

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