Math Problem Statement

Sistem persamaan linear: x1+x2+2x3=9 2x1+4x2-3x3=1 3x1+6x2-5x3=0 cari operasi baris elementer persamaan di atas

Solution

Kita akan menyelesaikan sistem persamaan linear berikut menggunakan operasi baris elementer (OBE) untuk mengubahnya ke bentuk eselon atau eselon tereduksi.

Sistem persamaan:

x_1 + x_2 + 2x_3 &= 9 \\ 2x_1 + 4x_2 - 3x_3 &= 1 \\ 3x_1 + 6x_2 - 5x_3 &= 0 \end{aligned}$$ ### **1. Representasi Matriks Augmented** Kita bentuk matriks augmented dari sistem di atas: $$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & | 9 \\ 2 & 4 & -3 & | 1 \\ 3 & 6 & -5 & | 0 \end{bmatrix}$$ ### **2. Eliminasi dengan Operasi Baris Elementer** Kita akan membuat nol pada elemen bawah pivot pertama di kolom pertama. #### **Langkah 1: Buat nol di posisi (2,1) dan (3,1)** - Operasi: **$$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$$** - Operasi: **$$R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$$** Hasil: $$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & | 9 \\ 0 & 2 & -7 & | -17 \\ 0 & 3 & -11 & | -27 \end{bmatrix}$$ #### **Langkah 2: Buat nol di posisi (3,2)** - Operasi: **$$R_3 \leftarrow R_3 - \frac{3}{2} R_2$$** Hasil: $$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & | 9 \\ 0 & 2 & -7 & | -17 \\ 0 & 0 & -0.5 & | -1.5 \end{bmatrix}$$ #### **Langkah 3: Buat elemen diagonal menjadi 1** - Operasi: **$$R_2 \leftarrow \frac{1}{2} R_2$$** - Operasi: **$$R_3 \leftarrow -2 R_3$$** Hasil: $$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & | 9 \\ 0 & 1 & -3.5 & | -8.5 \\ 0 & 0 & 1 & | 3 \end{bmatrix}$$ #### **Langkah 4: Eliminasi elemen atas kolom ke-3** - Operasi: **$$R_2 \leftarrow R_2 + 3.5 R_3$$** - Operasi: **$$R_1 \leftarrow R_1 - 2 R_3$$** Hasil: $$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | 3 \\ 0 & 1 & 0 & | 2 \\ 0 & 0 & 1 & | 3 \end{bmatrix}$$ ### **Kesimpulan** Dari bentuk eselon tereduksi ini, kita bisa membaca solusi langsung: $$\begin{aligned} x_1 &= 3, \\ x_2 &= 2, \\ x_3 &= 3. \end{aligned}$$ --- **Operasi Baris Elementer yang Digunakan:** 1. $$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$$ 2. $$R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$$ 3. $$R_3 \leftarrow R_3 - \frac{3}{2} R_2$$ 4. $$R_2 \leftarrow \frac{1}{2} R_2$$ 5. $$R_3 \leftarrow -2 R_3$$ 6. $$R_2 \leftarrow R_2 + 3.5 R_3$$ 7. $$R_1 \leftarrow R_1 - 2 R_3$$ --- Mau penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan? 😊 **5 Pertanyaan terkait:** 1. Apa itu bentuk eselon dan bentuk eselon tereduksi? 2. Bagaimana cara menentukan apakah sistem SPL memiliki solusi unik, banyak, atau tidak ada solusi? 3. Bagaimana cara menyelesaikan SPL dengan metode substitusi? 4. Apa perbedaan metode Gauss dan Gauss-Jordan? 5. Bagaimana cara menyelesaikan SPL menggunakan matriks balikan? **Tip:** Jika suatu sistem persamaan memiliki determinan nol, maka sistem tersebut bisa memiliki banyak solusi atau tidak ada solusi! 🚀

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Systems of Linear Equations
Elementary Row Operations

Formulas

Elementary Row Operations: R2 -> R2 - kR1, R3 -> R3 - kR1
Gaussian Elimination
Row Echelon Form

Theorems

Gaussian Elimination Theorem
Row Echelon Form Theorem

Suitable Grade Level

Grades 10-12