Math Problem Statement
齐次线性方程组怎么解，举个例子
Solution
齐次线性方程组是指所有方程的常数项（即自由项）都等于零的线性方程组，通常形式为：
其中， 是系数矩阵， 是未知量的列向量， 是零向量。
解齐次线性方程组通常分为以下几个步骤：
- 写出矩阵形式：将方程组转化为矩阵形式。
- 求解对应的增广矩阵：把方程组写成矩阵 形式，并进行初等行变换，将其化为简化的阶梯形矩阵。
- 通过回代解出变量：根据简化后的矩阵，解出自变量的表达式。
- 确定基础解系：齐次方程组的解要么只有零解（即唯一解），要么有无数多个解，形成线性无关的解系。
例子：
考虑以下齐次线性方程组：
x_1 + 2x_2 + x_3 &= 0 \\ 2x_1 + 3x_2 + 2x_3 &= 0 \\ x_1 + x_2 + 3x_3 &= 0 \end{aligned}$$ 步骤： 1. **矩阵形式**： 将方程组转化为矩阵形式 $$A \mathbf{x} = \mathbf{0}$$，其中 $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ 2. **初等行变换**： 对系数矩阵 $$A$$ 进行初等行变换，化为阶梯形矩阵。 $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{R2} \leftarrow \text{R2} - 2 \times \text{R1}} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{R3} \leftarrow \text{R3} - \text{R1}} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 接着对第三行进行变换，消掉第2列的值： $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ 3. **回代求解**： 从最后一行可以看出 $$2x_3 = 0$$，因此 $$x_3 = 0$$。 从第二行可得 $$-x_2 = 0$$，所以 $$x_2 = 0$$。 第一行则是 $$x_1 + 2x_2 + x_3 = 0$$，代入 $$x_2 = 0$$ 和 $$x_3 = 0$$，可得 $$x_1 = 0$$。 4. **解的情况**： 因此，这个齐次线性方程组只有一个解，即零解： $$x_1 = x_2 = x_3 = 0$$ ### 总结： 对于齐次线性方程组，如果矩阵的秩等于变量的个数，则只有零解；如果秩小于变量个数，则有无穷多个解，称为非零解。 有什么不明白的地方或者需要细节吗？ 相关问题： 1. 非齐次线性方程组与齐次的区别是什么？ 2. 当齐次线性方程组有无穷解时，如何求解？ 3. 齐次线性方程组解的几何意义是什么？ 4. 如果增广矩阵有自由变量，如何确定解空间？ 5. 如何判断一个齐次线性方程组的解是唯一解还是无穷多个解？ **提示**：当解齐次线性方程组时，判断矩阵的秩能帮助确定解的个数。Ask a new question for Free
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A * x = 0
Elementary row transformations
Theorems
Rank-Nullity Theorem
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