齐次线性方程组怎么解，举个例子

齐次线性方程组是指所有方程的常数项（即自由项）都等于零的线性方程组，通常形式为：

\[
A \mathbf{x} = \mathbf{0}
\]

其中，\( A \) 是系数矩阵，\( \mathbf{x} \) 是未知量的列向量，\( \mathbf{0} \) 是零向量。

解齐次线性方程组通常分为以下几个步骤：

1. **写出矩阵形式**：将方程组转化为矩阵形式。
2. **求解对应的增广矩阵**：把方程组写成矩阵 \( A \) 形式，并进行初等行变换，将其化为简化的阶梯形矩阵。
3. **通过回代解出变量**：根据简化后的矩阵，解出自变量的表达式。
4. **确定基础解系**：齐次方程组的解要么只有零解（即唯一解），要么有无数多个解，形成线性无关的解系。

### 例子：

考虑以下齐次线性方程组：

\[
\begin{aligned}
x_1 + 2x_2 + x_3 &= 0 \\
2x_1 + 3x_2 + 2x_3 &= 0 \\
x_1 + x_2 + 3x_3 &= 0
\end{aligned}
\]

步骤：

1. **矩阵形式**：
将方程组转化为矩阵形式 \( A \mathbf{x} = \mathbf{0} \)，其中

\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 3
\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{0} = \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\]

2. **初等行变换**：
对系数矩阵 \( A \) 进行初等行变换，化为阶梯形矩阵。

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\xrightarrow{\text{R2} \leftarrow \text{R2} - 2 \times \text{R1}} \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\xrightarrow{\text{R3} \leftarrow \text{R3} - \text{R1}} \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & -1 & 2
\end{pmatrix}
\]

接着对第三行进行变换，消掉第2列的值：

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\]

3. **回代求解**：
从最后一行可以看出 \( 2x_3 = 0 \)，因此 \( x_3 = 0 \)。

从第二行可得 \( -x_2 = 0 \)，所以 \( x_2 = 0 \)。

第一行则是 \( x_1 + 2x_2 + x_3 = 0 \)，代入 \( x_2 = 0 \) 和 \( x_3 = 0 \)，可得 \( x_1 = 0 \)。

4. **解的情况**：
因此，这个齐次线性方程组只有一个解，即零解：

\[
x_1 = x_2 = x_3 = 0
\]

### 总结：
对于齐次线性方程组，如果矩阵的秩等于变量的个数，则只有零解；如果秩小于变量个数，则有无穷多个解，称为非零解。

有什么不明白的地方或者需要细节吗？

相关问题：
1. 非齐次线性方程组与齐次的区别是什么？
2. 当齐次线性方程组有无穷解时，如何求解？
3. 齐次线性方程组解的几何意义是什么？
4. 如果增广矩阵有自由变量，如何确定解空间？
5. 如何判断一个齐次线性方程组的解是唯一解还是无穷多个解？

**提示**：当解齐次线性方程组时，判断矩阵的秩能帮助确定解的个数。

Learn how to solve homogeneous linear equation systems with a step-by-step example. This detailed solution includes matrix representation, elementary row transformations, and solving for variables. Suitable for students studying linear algebra at the undergraduate level.

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