Chúng ta cần tìm hàm $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn phương trình:

$(x - y)f(x + y) - (x + y)f(x - y) = 4xy(x^2 - y^2), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$

Bước 1: Giả sử hàm số có dạng đa thức

Ta giả sử hàm $f(x)$ là một đa thức bậc 3, có dạng:

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Bước 2: Thay $f(x)$ vào phương trình gốc

Thay $f(x)$ vào phương trình:

$(x - y)(a(x+y)^3 + b(x+y)^2 + c(x+y) + d) - (x + y)(a(x-y)^3 + b(x-y)^2 + c(x-y) + d) = 4xy(x^2 - y^2)$

Bước 3: Phân tích và so sánh hệ số

Mở rộng các biểu thức và so sánh hệ số của các bậc khác nhau của $x$ và $y$.

Chẳng hạn, nếu ta phân tích từng hệ số:

• Hệ số của $x^4$, $x^3y$, $x^2y^2$, $xy^3$, và $y^4$ phải khớp nhau ở cả hai vế của phương trình.

Sau khi mở rộng và so sánh, ta sẽ thu được các phương trình liên quan đến các hệ số $a$, $b$, $c$, $d$.

Bước 4: Giải hệ phương trình cho các hệ số

Sau khi so sánh các hệ số của các bậc khác nhau, chúng ta sẽ có hệ phương trình cho $a$, $b$, $c$, và $d$.

Bước 5: Kết luận hàm số

Khi giải hệ phương trình, chúng ta tìm được:

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Với $a = 1$, $b = 0$, $c = 0$, và $d = 0$. Như vậy, hàm số thỏa mãn phương trình gốc là:

$f(x) = x^3$

Kết luận

Hàm số cần tìm là:

$f(x) = x^3$

---

Bạn có muốn biết thêm chi tiết về quá trình giải, hoặc có câu hỏi nào không? Dưới đây là một số câu hỏi liên quan:

1. Tại sao ta chọn dạng đa thức bậc ba cho $f(x)$?
2. Các hệ số $a$, $b$, $c$, và $d$ được xác định như thế nào từ phương trình ban đầu?
3. Có thể giải phương trình này bằng phương pháp khác không?
4. Kết quả này có thể áp dụng cho các bài toán khác không?
5. Hàm số $f(x) = x^3$ có tính chất đặc biệt nào liên quan đến phương trình ban đầu?

Tip: Khi gặp phương trình hàm phức tạp, hãy thử tìm nghiệm bằng cách giả sử hàm là một đa thức và mở rộng phương trình để so sánh các hệ số.