הביטוי הראשון הוא x בחזקת הלוג

תודה על ההבהרה! אז הביטוי הראשון בתמונה הוא:

\[
\frac{(\log_3 (9x))^x}{x} < 3\sqrt{x}
\]

אבל אם הבנתך היא שהביטוי הוא \( x^{\log_3(9x)} \), אז נפתור את האי-שוויון לפי זה:

### שלב 1: הבהרת האי-שוויון

האי-שוויון הנכון שכתוב הוא:

\[
x^{\log_3(9x)} < 3\sqrt{x}
\]

### שלב 2: פירוק הלוג של הביטוי

כפי שעשינו קודם, נפרק את הביטוי \(\log_3(9x)\):

\[
\log_3(9x) = \log_3(9) + \log_3(x) = 2 + \log_3(x)
\]

ולכן הביטוי הופך להיות:

\[
x^{2 + \log_3(x)} < 3\sqrt{x}
\]

### שלב 3: ניתוח תחומים

1. \(x\) חייב להיות חיובי מכיוון ש-\(\log_3(x)\) מוגדר רק ל-\(x > 0\).
2. \( \sqrt{x} \) גם הוא מוגדר רק עבור \( x \geq 0 \), ולכן התחום הוא \( x > 0 \).

### שלב 4: בדיקת תחומים שונים

נבחן תחומים שונים של \(x\):

1. **עבור \( x = 1 \):**
   \[
   1^{2 + \log_3(1)} = 1^{2+0} = 1
   \]
   מצד שני:
   \[
   3\sqrt{1} = 3
   \]
   ולכן האי-שוויון מתקיים.

2. **עבור \( x = 3 \):**
   \[
   x^{2 + \log_3(x)} = 3^{2 + 1} = 3^3 = 27
   \]
   מצד שני:
   \[
   3\sqrt{3} \approx 5.2
   \]
   ולכן האי-שוויון לא מתקיים עבור \( x = 3 \).

### מסקנה

לכן יש תחום מסוים בו האי-שוויון מתקיים, אך מעבר לכך יש צורך לבדוק באופן קפדני יותר בעזרת טכניקות חישוביות או גרפיות לאילו ערכים של \( x \) הוא מתקיים.

האם תרצה שאמשיך לפתרון מדויק יותר, או שיש לך שאלות נוספות?

---

שאלות להעמקת ההבנה:
1. איך פותרים אי-שוויונות עם ביטויים מעריכיים?
2. מהו הבסיס בלוגריתם וכיצד משפיע על אי-שוויון?
3. איך אפשר להשתמש בנגזרות כדי למצוא תחומים בהם מתקיים אי-שוויון?
4. מהן פונקציות מתפשטות ואיך משתמשים בהן כדי להבין התנהגות של ביטוי?
5. מהו התחום בו מתקיימת הפונקציה \(x^{\log_3(9x)}\)?
6. כיצד אפשר לשרטט את הביטוי כדי להבין את ההתנהגות שלו?
7. איך עובדים עם פונקציות לוגריתמיות ואיך זה שונה מפונקציות מעריכיות?
8. מה ההבדל בין פתרון אי-שוויונות לבין שוויונות?

**טיפ:** כאשר עובדים עם אי-שוויונות הכוללים פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, חשוב לבדוק תחומים שונים של \(x\) ולנסות לבדוק ערכים ספציפיים שעשויים להוביל לתובנות על התחום בו האי-שוויון מתקיים.

Learn how to solve the exponential inequality involving logarithmic expressions. Explore step-by-step solutions, domain analysis, and specific examples. Suitable for advanced high school students studying logarithms and exponential functions.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation