Math Problem Statement

הביטוי הראשון הוא x בחזקת הלוג

Solution

תודה על ההבהרה! אז הביטוי הראשון בתמונה הוא:

(log3(9x))xx<3x\frac{(\log_3 (9x))^x}{x} < 3\sqrt{x}

אבל אם הבנתך היא שהביטוי הוא xlog3(9x)x^{\log_3(9x)}, אז נפתור את האי-שוויון לפי זה:

שלב 1: הבהרת האי-שוויון

האי-שוויון הנכון שכתוב הוא:

xlog3(9x)<3xx^{\log_3(9x)} < 3\sqrt{x}

שלב 2: פירוק הלוג של הביטוי

כפי שעשינו קודם, נפרק את הביטוי log3(9x)\log_3(9x):

log3(9x)=log3(9)+log3(x)=2+log3(x)\log_3(9x) = \log_3(9) + \log_3(x) = 2 + \log_3(x)

ולכן הביטוי הופך להיות:

x2+log3(x)<3xx^{2 + \log_3(x)} < 3\sqrt{x}

שלב 3: ניתוח תחומים

  1. xx חייב להיות חיובי מכיוון ש-log3(x)\log_3(x) מוגדר רק ל-x>0x > 0.
  2. x\sqrt{x} גם הוא מוגדר רק עבור x0x \geq 0, ולכן התחום הוא x>0x > 0.

שלב 4: בדיקת תחומים שונים

נבחן תחומים שונים של xx:

  1. עבור x=1x = 1: 12+log3(1)=12+0=11^{2 + \log_3(1)} = 1^{2+0} = 1 מצד שני: 31=33\sqrt{1} = 3 ולכן האי-שוויון מתקיים.

  2. עבור x=3x = 3: x2+log3(x)=32+1=33=27x^{2 + \log_3(x)} = 3^{2 + 1} = 3^3 = 27 מצד שני: 335.23\sqrt{3} \approx 5.2 ולכן האי-שוויון לא מתקיים עבור x=3x = 3.

מסקנה

לכן יש תחום מסוים בו האי-שוויון מתקיים, אך מעבר לכך יש צורך לבדוק באופן קפדני יותר בעזרת טכניקות חישוביות או גרפיות לאילו ערכים של xx הוא מתקיים.

האם תרצה שאמשיך לפתרון מדויק יותר, או שיש לך שאלות נוספות?


שאלות להעמקת ההבנה:

  1. איך פותרים אי-שוויונות עם ביטויים מעריכיים?
  2. מהו הבסיס בלוגריתם וכיצד משפיע על אי-שוויון?
  3. איך אפשר להשתמש בנגזרות כדי למצוא תחומים בהם מתקיים אי-שוויון?
  4. מהן פונקציות מתפשטות ואיך משתמשים בהן כדי להבין התנהגות של ביטוי?
  5. מהו התחום בו מתקיימת הפונקציה xlog3(9x)x^{\log_3(9x)}?
  6. כיצד אפשר לשרטט את הביטוי כדי להבין את ההתנהגות שלו?
  7. איך עובדים עם פונקציות לוגריתמיות ואיך זה שונה מפונקציות מעריכיות?
  8. מה ההבדל בין פתרון אי-שוויונות לבין שוויונות?

טיפ: כאשר עובדים עם אי-שוויונות הכוללים פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, חשוב לבדוק תחומים שונים של xx ולנסות לבדוק ערכים ספציפיים שעשויים להוביל לתובנות על התחום בו האי-שוויון מתקיים.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Logarithms
Inequalities
Exponential Functions

Formulas

Logarithm properties
Exponential inequalities

Theorems

-

Suitable Grade Level

Advanced High School