$$ 2^{x}+2^{y}=12,2^{x+y}=32 $$を満たす実数$$ x,y $$を求めよ

与えられた方程式は次の通りです：

\[
2^x + 2^y = 12
\]
\[
2^{x+y} = 32
\]

### ステップ1: 2つ目の方程式を解く
2つ目の方程式をまず解いていきます。

\[
2^{x+y} = 32
\]

32は2の累乗として表せます：

\[
32 = 2^5
\]

したがって、

\[
x + y = 5
\]

### ステップ2: $ y = 5 - x $ を1つ目の方程式に代入
次に、$ y = 5 - x $ を1つ目の方程式 $ 2^x + 2^y = 12 $ に代入します：

\[
2^x + 2^{5-x} = 12
\]

### ステップ3: 方程式を解く
この方程式を満たす $ x $ の値を探します。

- **$ x = 2 $ の場合：**
  \[
  2^2 + 2^{5-2} = 4 + 8 = 12
  \]
  この場合、式は成立します。したがって、$ x = 2 $ です。

$ x = 2 $ を $ y = 5 - x $ に代入すると、

\[
y = 5 - 2 = 3
\]

### 結論
したがって、求める解は $ x = 2 $ と $ y = 3 $ です。

\[
(x, y) = (2, 3)
\]

何か他に詳しく知りたい点や質問はありますか？

以下は関連する問題です：
1. $ 2^{x+y} = 64 $ の場合、解はどのように変わりますか？
2. この方法を他の指数方程式系に一般化する方法は？
3. 代入法と消去法を用いる場合の違いとその重要性は？
4. $ 2^x + 2^y = 16 $ および $ 2^{x+y} = 32 $ の場合の解は？
5. もし1つ目の方程式が $ 2^x + 2^y = 14 $ であった場合、解はどう変わりますか？

**Tip:** 指数方程式を扱う際は、同じ基数形式に書き直してから指数を比較すると効率的に解けます。

Explore how to solve the exponential equations 2^x + 2^y = 12 and 2^(x+y) = 32 step-by-step. Understand the application of exponentiation rules and logarithmic functions in finding the solution (x, y) = (2, 3). Suitable for high school students studying algebra and logarithms.

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