Nous devons résoudre l'équation suivante :

$e^{2x} - e^x - 2 = 0$

1. Substitution de $y = e^x$

On effectue la substitution $y = e^x$. Cela implique que $e^{2x} = y^2$. L'équation devient alors :

$y^2 - y - 2 = 0$

2. Résolution de l'équation quadratique

Nous avons maintenant une équation quadratique en $y$ :

$y^2 - y - 2 = 0$

On peut résoudre cette équation par la méthode du discriminant. Le discriminant $\Delta$ est donné par :

$\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$

Ainsi, les racines de l'équation quadratique sont :

$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 \pm 3}{2}$

Cela donne les solutions suivantes pour $y$ :

$y_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$

3. Retrouver $x$

Rappelons que $y = e^x$. Cela signifie que nous devons résoudre les équations suivantes :

• Si $y_1 = 2$, alors $e^x = 2$, ce qui donne $x = \ln(2)$.
• Si $y_2 = -1$, alors $e^x = -1$, ce qui n'a pas de solution réelle, car $e^x > 0$ pour toute valeur de $x$.

Conclusion

La seule solution valable est $x = \ln(2)$, ce qui correspond à la réponse C.

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Voulez-vous des détails supplémentaires sur la méthode ou avez-vous d'autres questions sur ce sujet ?

Voici quelques questions relatives à ce problème :

1. Comment résout-on une équation quadratique par la méthode du discriminant ?
2. Pourquoi $e^x$ ne peut-il pas être égal à un nombre négatif ?
3. Quelle est l'importance des logarithmes naturels dans la résolution d'équations exponentielles ?
4. Que signifie la substitution $y = e^x$ dans cette solution ?
5. Quels sont les autres types d'équations qui peuvent être résolues en utilisant des substitutions ?

Conseil : Toujours vérifier les solutions obtenues en les substituant dans l'équation originale pour s'assurer qu'elles sont valides.