1. Résolution de l'équation $e^{2x} - 2e^x - 3 = 0$

L'équation à résoudre est :
$e^{2x} - 2e^x - 3 = 0$ On peut poser $u = e^x$, ce qui donne $e^{2x} = (e^x)^2 = u^2$. L'équation devient alors une équation quadratique en $u$ :

$u^2 - 2u - 3 = 0$

Pour résoudre cette équation quadratique, on utilise la formule du discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$ Dans ce cas, $a = 1$, $b = -2$, et $c = -3$. Calculons le discriminant :

$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$

Le discriminant est positif, donc il y a deux solutions réelles pour $u$ : $u = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 \pm 4}{2}$ Ce qui donne les deux solutions : $u_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad u_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$

Maintenant, on revient à la variable $e^x$, donc $e^x = u$. On a alors deux cas :

1. $e^x = 3$ $\Rightarrow x = \ln(3)$
2. $e^x = -1$ est impossible car $e^x > 0$ pour tous $x$.

Ainsi, la seule solution valable est : $x = \ln(3)$

2. Résolution du système d'équations :

4e^x - 3e^y = 9 \\ 2e^x + e^y = 7 \end{cases}$$ Posons $$a = e^x$$ et $$b = e^y$$. Le système devient : $$\begin{cases} 4a - 3b = 9 \\ 2a + b = 7 \end{cases}$$ Nous allons résoudre ce système linéaire. La méthode de substitution ou d'élimination peut être utilisée. Utilisons ici l'élimination. De la deuxième équation, on exprime $$b$$ en fonction de $$a$$ : $$b = 7 - 2a$$ Substituons cette expression dans la première équation : $$4a - 3(7 - 2a) = 9$$ $$4a - 21 + 6a = 9$$ $$10a - 21 = 9$$ $$10a = 30$$ $$a = 3$$ Maintenant, remplaçons $$a = 3$$ dans $$b = 7 - 2a$$ : $$b = 7 - 2(3) = 7 - 6 = 1$$ Donc, $$e^x = 3$$ et $$e^y = 1$$, ce qui donne : $$x = \ln(3), \quad y = \ln(1) = 0$$ ### Résumé des solutions : 1. Pour l'équation $$e^{2x} - 2e^x - 3 = 0$$, la solution est $$x = \ln(3)$$. 2. Pour le système $$\begin{cases} 4e^x - 3e^y = 9 \\ 2e^x + e^y = 7 \end{cases}$$, les solutions sont $$x = \ln(3)$$ et $$y = 0$$. --- Souhaitez-vous plus de détails sur les étapes de la résolution ou avez-vous des questions sur un autre aspect ? Voici 5 questions connexes pour approfondir : 1. Comment résoudre une équation quadratique en utilisant le discriminant ? 2. Quelle est la méthode de substitution dans un système d'équations ? 3. Que se passe-t-il si une équation exponentielle mène à une valeur négative ? 4. Comment vérifier les solutions d'un système d'équations exponentielles ? 5. Quelle est la définition de la fonction exponentielle et ses propriétés de base ? **Astuce** : Lors de la résolution d'un système d'équations exponentielles, il est souvent utile de simplifier les expressions en posant $$a = e^x$$ et $$b = e^y$$, ce qui peut transformer un problème exponentiel en un problème linéaire.