لحل المعادلة $\text{zpq} = p + q$ باستخدام طريقة جاوس-سيدل (Gauss-Seidel)، علينا أولاً إعادة كتابة المعادلة بشكل يُسهِّل تطبيق هذه الطريقة.

خطوة 1: إعادة صياغة المعادلة

لدينا: $zpq = p + q$ لنفترض أن المتغيرات هي:

• $p$ في الدورة $k$ تُعبَّر عنه بـ $p^{(k)}$
• $q$ في الدورة $k$ تُعبَّر عنه بـ $q^{(k)}$
• $z$ هو المتغير الذي نريد إيجاده

سنقوم بإعادة ترتيب المعادلة لنحصل على صيغة تعتمد على قيم المتغيرات القديمة:

$p^{(k+1)} = \frac{q^{(k)} + q^{(k+1)}}{zq}$ $q^{(k+1)} = \frac{p^{(k)} + p^{(k+1)}}{zp}$

خطوة 2: إعداد القيم الابتدائية

يجب إعطاء القيم الابتدائية لكل من $p$ و $q$، لنفترض قيم عشوائية تبدأ من $p^{(0)}$ و $q^{(0)}$.

خطوة 3: تطبيق طريقة جاوس-سيدل

1. نحسب القيمة الجديدة لـ $p^{(k+1)}$ باستخدام القيم الحالية لـ $q^{(k)}$.
2. نستخدم هذه القيمة الجديدة لـ $p^{(k+1)}$ لحساب $q^{(k+1)}$.
3. نكرر هذه العملية حتى تصبح قيم $p$ و $q$ متقاربة (أي أن الفرق بين قيم الدورات المتتالية يكون صغيرًا جدًا).

خطوة 4: الاستمرار حتى الوصول إلى التقارب

نستمر في العملية حتى تتحقق شروط التقارب، وعادةً ما تُحدد قيمة صغيرة مثل $\epsilon$ بحيث: $|p^{(k+1)} - p^{(k)}| < \epsilon \quad \text{و} \quad |q^{(k+1)} - q^{(k)}| < \epsilon$

ملاحظة

في هذه المعادلة، تعتمد النتائج النهائية على القيم الابتدائية التي اخترناها لـ $p^{(0)}$ و $q^{(0)}$. يمكنك اختيار قيم أولية بسيطة لمعرفة سرعة التقارب.

هل تحتاج إلى تفاصيل إضافية أو توضيحات حول طريقة الحل؟

أسئلة ذات صلة:

1. ما هي القيم الابتدائية المثلى لطريقة جاوس-سيدل؟
2. كيف يمكن تحسين سرعة التقارب في طريقة جاوس-سيدل؟
3. ما هي الفروق بين طريقة جاوس-سيدل وطريقة جاوس-جاكوب؟
4. كيف يتم حساب معدل الخطأ عند تطبيق طريقة جاوس-سيدل؟
5. متى يُفضل استخدام طريقة جاوس-سيدل على طرق أخرى مثل نيوتن-رافسون؟

نصيحة:

تأكد من اختيار قيم ابتدائية مناسبة لتسريع عملية التقارب في الحل.