A redução de ordem é uma técnica usada para resolver equações diferenciais de segunda ordem quando uma solução particular $y_1(x)$ já é conhecida. Para o problema:

$y'' + 2y' + y = 0$

com $y_1(x) = x e^{-x}$, usaremos essa técnica para encontrar uma segunda solução $y_2(x)$ linearmente independente.

Passos para realizar a redução de ordem:

1. Sabemos que $y_2(x)$ terá a forma: $y_2(x) = v(x) y_1(x)$ onde $v(x)$ é uma função desconhecida que precisamos determinar, e $y_1(x) = x e^{-x}$.

2. A derivada de $y_2(x)$ será: $y_2'(x) = v'(x) y_1(x) + v(x) y_1'(x)$ e a segunda derivada será: $y_2''(x) = v''(x) y_1(x) + 2v'(x) y_1'(x) + v(x) y_1''(x)$

3. Agora, substituímos $y_2(x) = v(x) y_1(x)$, $y_2'(x)$, e $y_2''(x)$ na equação diferencial original: $y_2'' + 2 y_2' + y_2 = 0$

   Vamos calcular as derivadas de $y_1(x) = x e^{-x}$:

   • $y_1'(x) = e^{-x} - x e^{-x}$
   • $y_1''(x) = -2e^{-x} + x e^{-x}$

4. Substituímos essas derivadas na equação e resolvemos para $v(x)$.

Deseja que eu continue a resolução detalhada e encontre a segunda solução $y_2(x)$?