Рассмотрим уравнение:

$z^2 + 5z + 4 + 10i = 0$

где $z = x + yi$, где $x$ и $y$ — действительная и мнимая части корня соответственно. Нам нужно найти значения $x$ и $y$, чтобы они удовлетворяли данному уравнению.

Шаг 1: Подстановка $z = x + yi$ в уравнение

Подставляя $z = x + yi$, мы имеем:

$(x + yi)^2 + 5(x + yi) + 4 + 10i = 0$

Шаг 2: Раскрытие скобок

1. Раскроем квадрат: $(x + yi)^2 = x^2 + 2xyi - y^2$

2. Умножим 5 на $x + yi$: $5(x + yi) = 5x + 5yi$

3. Объединим все части: $z^2 + 5z + 4 + 10i = (x^2 - y^2 + 5x + 4) + (2xy + 5y + 10)i = 0$

Шаг 3: Разделение на действительную и мнимую части

Поскольку уравнение должно быть равно нулю, мы можем записать отдельно действительную и мнимую части:

1. Действительная часть: $x^2 - y^2 + 5x + 4 = 0$
2. Мнимая часть: $2xy + 5y + 10 = 0$

Шаг 4: Решение системы уравнений

Теперь решим полученную систему уравнений: