https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1718596632765iomty96f.jpg

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Phần a: Tìm tốc độ thay đổi trung bình của \( s(t) \) theo \( t \)

Cho hàm số \( s(t) = \frac{t - 1}{t + 1} \). Ta cần tìm tốc độ thay đổi trung bình của \( s(t) \) khi \( t \) thay đổi từ \( t = -\frac{1}{2} \) đến \( t = 0 \).

Tốc độ thay đổi trung bình của \( s(t) \) được tính bằng công thức:
\[
\frac{s(b) - s(a)}{b - a}
\]
trong đó \( a = -\frac{1}{2} \) và \( b = 0 \).

Tính \( s\left(-\frac{1}{2}\right) \) và \( s(0) \):

\[
s\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{-\frac{1}{2} - 1}{-\frac{1}{2} + 1} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = -3
\]

\[
s(0) = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1
\]

Do đó, tốc độ thay đổi trung bình là:
\[
\frac{s(0) - s\left(-\frac{1}{2}\right)}{0 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{-1 - (-3)}{0 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4
\]

### Phần b: Sử dụng đạo hàm để tính tốc độ thay đổi tức thời của \( s(t) \) tại \( t = -\frac{1}{2} \)

Trước tiên, ta tìm đạo hàm của \( s(t) \).

Hàm \( s(t) = \frac{t - 1}{t + 1} \) là một hàm số phân thức, ta có thể sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức:
\[
s'(t) = \frac{(t+1)(1) - (t-1)(1)}{(t+1)^2} = \frac{t + 1 - (t - 1)}{(t+1)^2} = \frac{t + 1 - t + 1}{(t+1)^2} = \frac{2}{(t+1)^2}
\]

Tính đạo hàm tại \( t = -\frac{1}{2} \):
\[
s'\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{\left(-\frac{1}{2} + 1\right)^2} = \frac{2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{2}{\frac{1}{4}} = 8
\]

So sánh với tốc độ thay đổi trung bình tìm được trong câu a (là 4):
- Tốc độ thay đổi trung bình: 4
- Tốc độ thay đổi tức thời tại \( t = -\frac{1}{2} \): 8

Bạn có cần thêm chi tiết hay có câu hỏi nào không? Bạn có thể tham khảo một số câu hỏi sau đây:
1. Làm thế nào để vẽ đồ thị của hàm \( s(t) \)?
2. Đạo hàm của \( s(t) \) tại các giá trị khác của \( t \) sẽ như thế nào?
3. Tốc độ thay đổi tức thời có ý nghĩa gì trong thực tế?
4. Làm thế nào để xác định giá trị của \( t \) tại đó tốc độ thay đổi trung bình và tốc độ thay đổi tức thời bằng nhau?
5. Tìm đạo hàm bậc hai của \( s(t) \) và phân tích sự biến thiên của tốc độ thay đổi tức thời.

**Tip:** Khi tính đạo hàm của một hàm số phân thức, hãy luôn kiểm tra kỹ các bước đạo hàm để đảm bảo không có sai sót.

Learn how to solve a problem involving average rate of change using derivatives. This problem covers the calculation of average rate of change and instantaneous rate of change using derivative rules for fractions. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation