Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Phần a: Tìm tốc độ thay đổi trung bình của $s(t)$ theo $t$

Cho hàm số $s(t) = \frac{t - 1}{t + 1}$. Ta cần tìm tốc độ thay đổi trung bình của $s(t)$ khi $t$ thay đổi từ $t = -\frac{1}{2}$ đến $t = 0$.

Tốc độ thay đổi trung bình của $s(t)$ được tính bằng công thức: $\frac{s(b) - s(a)}{b - a}$ trong đó $a = -\frac{1}{2}$ và $b = 0$.

Tính $s\left(-\frac{1}{2}\right)$ và $s(0)$:

$s\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{-\frac{1}{2} - 1}{-\frac{1}{2} + 1} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = -3$

$s(0) = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$

Do đó, tốc độ thay đổi trung bình là: $\frac{s(0) - s\left(-\frac{1}{2}\right)}{0 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{-1 - (-3)}{0 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$

Phần b: Sử dụng đạo hàm để tính tốc độ thay đổi tức thời của $s(t)$ tại $t = -\frac{1}{2}$

Trước tiên, ta tìm đạo hàm của $s(t)$.

Hàm $s(t) = \frac{t - 1}{t + 1}$ là một hàm số phân thức, ta có thể sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: $s'(t) = \frac{(t+1)(1) - (t-1)(1)}{(t+1)^2} = \frac{t + 1 - (t - 1)}{(t+1)^2} = \frac{t + 1 - t + 1}{(t+1)^2} = \frac{2}{(t+1)^2}$

Tính đạo hàm tại $t = -\frac{1}{2}$: $s'\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{\left(-\frac{1}{2} + 1\right)^2} = \frac{2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{2}{\frac{1}{4}} = 8$

So sánh với tốc độ thay đổi trung bình tìm được trong câu a (là 4):

• Tốc độ thay đổi trung bình: 4
• Tốc độ thay đổi tức thời tại $t = -\frac{1}{2}$: 8

Bạn có cần thêm chi tiết hay có câu hỏi nào không? Bạn có thể tham khảo một số câu hỏi sau đây:

1. Làm thế nào để vẽ đồ thị của hàm $s(t)$?
2. Đạo hàm của $s(t)$ tại các giá trị khác của $t$ sẽ như thế nào?
3. Tốc độ thay đổi tức thời có ý nghĩa gì trong thực tế?
4. Làm thế nào để xác định giá trị của $t$ tại đó tốc độ thay đổi trung bình và tốc độ thay đổi tức thời bằng nhau?
5. Tìm đạo hàm bậc hai của $s(t)$ và phân tích sự biến thiên của tốc độ thay đổi tức thời.

Tip: Khi tính đạo hàm của một hàm số phân thức, hãy luôn kiểm tra kỹ các bước đạo hàm để đảm bảo không có sai sót.