Math Problem Statement

creame 2 ejercicios resueltos de parabolas

Solution

Aquí tienes dos ejercicios resueltos sobre parábolas con una explicación detallada de cada paso.


Ejercicio 1:

Dada la ecuación de una parábola:
y=2x28x+6y = 2x^2 - 8x + 6

a) Determina el vértice de la parábola.
b) Encuentra el eje de simetría.
c) Determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

Solución:

a) Vértice de la parábola:
Para una parábola de la forma y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c, el vértice está en: xv=b2ax_v = -\frac{b}{2a} Aquí, a=2a = 2 y b=8b = -8.

xv=822=84=2x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2

Ahora sustituimos x=2x = 2 en la ecuación para encontrar yvy_v: yv=2(2)28(2)+6=2416+6=816+6=2y_v = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 2 \cdot 4 - 16 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2

Entonces, el vértice es (2,2)(2, -2).

b) Eje de simetría:
El eje de simetría es la línea vertical que pasa por el vértice, es decir, x=xv=2x = x_v = 2.

c) Dirección de apertura de la parábola:
Como el valor de a=2a = 2 es positivo, la parábola abre hacia arriba.


Ejercicio 2:

Dada la parábola con vértice en (3,4)(3, -4) que pasa por el punto (4,3)(4, -3), encuentra la ecuación de la parábola.

Solución:

Para una parábola que tiene el vértice en (h,k)(h, k), su ecuación se expresa como: y=a(xh)2+ky = a(x - h)^2 + k

Sabemos que el vértice es (3,4)(3, -4), así que: y=a(x3)24y = a(x - 3)^2 - 4

Ahora usamos el punto (4,3)(4, -3) para encontrar aa. Sustituyendo x=4x = 4 y y=3y = -3: 3=a(43)24-3 = a(4 - 3)^2 - 4 3=a(1)24-3 = a(1)^2 - 4 3=a4-3 = a - 4 a=1a = 1

Por lo tanto, la ecuación de la parábola es: y=(x3)24y = (x - 3)^2 - 4


¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?


  1. ¿Cómo se determina el foco de una parábola dada su ecuación?
  2. ¿Cuál es la fórmula general de una parábola horizontal?
  3. ¿Cómo se calcula la directriz de una parábola?
  4. ¿Cuándo se usa la fórmula de vértice en una parábola?
  5. ¿Cómo se determina si una parábola abre hacia la izquierda o derecha?

Tip: Al trabajar con parábolas, recuerda que el vértice siempre da una pista de hacia dónde apunta la gráfica.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Algebra
Quadratic Functions
Parabolas

Formulas

Vertex formula: x_v = -b / (2a)
Standard form of a parabola: y = ax^2 + bx + c
Vertex form of a parabola: y = a(x - h)^2 + k

Theorems

Vertex theorem for parabolas
Symmetry of parabolas

Suitable Grade Level

Grades 9-11