Die Gleichung lautet:

$x = \sqrt{i}$

Da $i$ die imaginäre Einheit darstellt ($i = \sqrt{-1}$), kann die Quadratwurzel von $i$ ebenfalls in der Form einer komplexen Zahl ausgedrückt werden. Um diese zu berechnen, verwenden wir die Polarform einer komplexen Zahl.

1. Schritt: Schreibe $i$ in Polarform. Da $i = 0 + 1i$, hat es den Betrag $|i| = 1$ und den Winkel $\theta = \frac{\pi}{2}$ (90 Grad).

2. Schritt: Bestimme die Quadratwurzel von $i$. Die Quadratwurzeln einer komplexen Zahl $z = r \cdot e^{i \theta}$ können wie folgt berechnet werden: $\sqrt{z} = \sqrt{r} \cdot e^{i \frac{\theta}{2}}$ In unserem Fall ist $r = 1$ und $\theta = \frac{\pi}{2}$, sodass: $\sqrt{i} = \sqrt{1} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}} = e^{i \frac{\pi}{4}}$

3. Ergebnis in kartesischer Form: $e^{i \frac{\pi}{4}} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Damit ergibt sich:

$\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Dies ist eine der beiden Lösungen; die andere Lösung ist der negative Wert, also: $\sqrt{i} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}$

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Hier sind fünf verwandte Fragen, die du als nächstes erforschen könntest:

1. Wie berechnet man Wurzeln anderer komplexer Zahlen?
2. Was sind die verschiedenen Darstellungen komplexer Zahlen (kartesisch, polar)?
3. Wie multipliziert man komplexe Zahlen in Polarform?
4. Welche Bedeutung hat die imaginäre Einheit $i$ in der Mathematik?
5. Wie kann man komplexe Gleichungen lösen?

Tipp: Die Polarform von komplexen Zahlen vereinfacht viele Berechnungen, besonders bei Wurzeln und Potenzen.