Tarkastellaan yhtälöä $\sin(x - \frac{\pi}{2}) = \cos(x + \frac{\pi}{2})$.

Ensinnäkin, käytetään trigonometrisia identiteettejä ratkaisemaan yhtälö:

1. Identiteettien soveltaminen:

   Tiedetään, että $\sin\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos(\theta) \quad \text{ja} \quad \cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(\theta)$ Sovelletaan näitä yhtälöön: $\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos(x) \quad \text{ja} \quad \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(x)$ Nyt yhtälö muuttuu muotoon: $-\cos(x) = -\sin(x)$ Tästä saadaan: $\cos(x) = \sin(x)$

2. Ratkaistaan yhtälö $\cos(x) = \sin(x)$:

   Jaetaan molemmat puolet $\cos(x)$:lla (olettaen, että $\cos(x) \neq 0$): $1 = \tan(x)$ Tästä saadaan: $x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

3. Määritetään ratkaisut välillä $[-π, π]$:

   Koska $n$ voi olla mikä tahansa kokonaisluku, tarkastellaan arvoja, jotka kuuluvat annettuun väliin $[-π, π]$: $x_1 = \frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$ Mutta $x_2 = \frac{5\pi}{4}$ ei kuulu väliin $[-π, π]$. Kuitenkin, kun vähennämme $2\pi$, saamme $x_2 = \frac{5\pi}{4} - 2\pi = \frac{-3\pi}{4}$, joka kuuluu annettuun väliin.

   Joten ratkaisut ovat: $x = \frac{\pi}{4} \quad \text{ja} \quad x = \frac{-3\pi}{4}$

Yhteenveto:

Yhtälön $\sin(x - \frac{\pi}{2}) = \cos(x + \frac{\pi}{2})$ ratkaisut välillä $[-π, π]$ ovat $x = \frac{\pi}{4}$ ja $x = -\frac{3\pi}{4}$.

Haluatko yksityiskohtaisempia selityksiä tai onko sinulla muita kysymyksiä?

Lisäkysymyksiä:

1. Miten tangenttifunktion arvojoukko vaikuttaa ratkaisujen määrään?
2. Voiko ratkaisujen määrä vaihdella riippuen välistä $[-π, π]$?
3. Miten trigonometriset identiteetit auttavat yhtälöiden ratkaisussa?
4. Mikä on $\tan(x)$ ja $\cot(x)$ funktion ero ratkaisujen määrityksessä?
5. Kuinka ratkaista vastaava yhtälö, jos se olisi esimerkiksi muodossa $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \cos(x + \frac{\pi}{3})$?

Vinkki: Trigonometriset identiteetit ovat erittäin hyödyllisiä muuntamaan yhtälöitä sellaiseen muotoon, jossa ne on helpompi ratkaista.