Määritä yhtälön sin⁡(𝑥−
π
2

)=cos⁡(𝑥+
π
2

) välillä [−π, π] olevat ratkaisut.

Tarkastellaan yhtälöä \(\sin(x - \frac{\pi}{2}) = \cos(x + \frac{\pi}{2})\).

Ensinnäkin, käytetään trigonometrisia identiteettejä ratkaisemaan yhtälö:

1. **Identiteettien soveltaminen:**

   Tiedetään, että
   \[
   \sin\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos(\theta) \quad \text{ja} \quad \cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(\theta)
   \]
   Sovelletaan näitä yhtälöön:
   \[
   \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos(x) \quad \text{ja} \quad \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(x)
   \]
   Nyt yhtälö muuttuu muotoon:
   \[
   -\cos(x) = -\sin(x)
   \]
   Tästä saadaan:
   \[
   \cos(x) = \sin(x)
   \]

2. **Ratkaistaan yhtälö \(\cos(x) = \sin(x)\):**

   Jaetaan molemmat puolet \(\cos(x)\):lla (olettaen, että \(\cos(x) \neq 0\)):
   \[
   1 = \tan(x)
   \]
   Tästä saadaan:
   \[
   x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
   \]

3. **Määritetään ratkaisut välillä \([-π, π]\):**

   Koska \(n\) voi olla mikä tahansa kokonaisluku, tarkastellaan arvoja, jotka kuuluvat annettuun väliin \([-π, π]\):
   \[
   x_1 = \frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}
   \]
   Mutta \(x_2 = \frac{5\pi}{4}\) ei kuulu väliin \([-π, π]\). Kuitenkin, kun vähennämme \(2\pi\), saamme \(x_2 = \frac{5\pi}{4} - 2\pi = \frac{-3\pi}{4}\), joka kuuluu annettuun väliin.

   Joten ratkaisut ovat:
   \[
   x = \frac{\pi}{4} \quad \text{ja} \quad x = \frac{-3\pi}{4}
   \]

### Yhteenveto:

Yhtälön \(\sin(x - \frac{\pi}{2}) = \cos(x + \frac{\pi}{2})\) ratkaisut välillä \([-π, π]\) ovat \(x = \frac{\pi}{4}\) ja \(x = -\frac{3\pi}{4}\).

Haluatko yksityiskohtaisempia selityksiä tai onko sinulla muita kysymyksiä?

**Lisäkysymyksiä:**
1. Miten tangenttifunktion arvojoukko vaikuttaa ratkaisujen määrään?
2. Voiko ratkaisujen määrä vaihdella riippuen välistä \([-π, π]\)?
3. Miten trigonometriset identiteetit auttavat yhtälöiden ratkaisussa?
4. Mikä on \(\tan(x)\) ja \(\cot(x)\) funktion ero ratkaisujen määrityksessä?
5. Kuinka ratkaista vastaava yhtälö, jos se olisi esimerkiksi muodossa \(\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \cos(x + \frac{\pi}{3})\)?

**Vinkki:** Trigonometriset identiteetit ovat erittäin hyödyllisiä muuntamaan yhtälöitä sellaiseen muotoon, jossa ne on helpompi ratkaista.

Discover how to solve the trigonometric equation sin(x - π/2) = cos(x + π/2) step-by-step with a detailed explanation. This problem involves applying trigonometric identities and finding solutions within the specified interval [-π, π]. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation