Дано уравнение:

$\cos^6x + \sin^6x - 6\cos^6x\sin^6x = 0$

Для решения этого уравнения, воспользуемся тригонометрической тождественностью:

$a^6 + b^6 - 6a^2b^2 = (a^2 + b^2)^3 - 6a^2b^2.$

В нашем случае $a = \cos x$ и $b = \sin x$, и мы знаем, что:

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1.$

Таким образом, наше уравнение принимает вид:

$(1)^3 - 6\cos^2 x \sin^2 x = 0,$

или:

$1 - 6\cos^2 x \sin^2 x = 0.$

Теперь используем формулу двойного угла:

$\cos^2 x \sin^2 x = \frac{1}{4}\sin^2 2x,$

и подставляем её в уравнение:

$1 - 6 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2x = 0,$

$1 - \frac{3}{2} \sin^2 2x = 0.$

Отсюда:

$\frac{3}{2} \sin^2 2x = 1,$

$\sin^2 2x = \frac{2}{3}.$

Теперь возьмём квадратный корень:

$\sin 2x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}.$

Рассмотрим положительное решение:

$\sin 2x = \frac{\sqrt{6}}{3}.$

Найдём $2x$ в градусах:

$2x = \arcsin\left( \frac{\sqrt{6}}{3} \right) \approx 56,44^\circ.$

Теперь найдём $x$:

$x = \frac{56,44^\circ}{2} \approx 28,22^\circ.$

Но это значение не лежит в заданном промежутке $(0^\circ; 10^\circ)$.

Теперь рассмотрим отрицательное решение:

$\sin 2x = -\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Получаем:

$2x = \arcsin\left( -\frac{\sqrt{6}}{3} \right) \approx -56,44^\circ.$

Но так как синус периодическая функция, можем найти значение в положительном промежутке:

$2x = 180^\circ - 56,44^\circ = 123,56^\circ,$

$x = \frac{123,56^\circ}{2} \approx 61,78^\circ.$

Это решение также не попадает в указанный промежуток.

Таким образом, решений в интервале $(0^\circ; 10^\circ)$ нет.