Упрости выражение.
cost 6x + sin^ 6x - 6 cos? 6x sin* 6x = 0
Запиши в поле ответа значение х в градусах в виде десятичной дроби, принадлежащее
промежутку (0°; 10°).

Дано уравнение:

\[
\cos^6x + \sin^6x - 6\cos^6x\sin^6x = 0
\]

Для решения этого уравнения, воспользуемся тригонометрической тождественностью:

\[
a^6 + b^6 - 6a^2b^2 = (a^2 + b^2)^3 - 6a^2b^2.
\]

В нашем случае \( a = \cos x \) и \( b = \sin x \), и мы знаем, что:

\[
\cos^2 x + \sin^2 x = 1.
\]

Таким образом, наше уравнение принимает вид:

\[
(1)^3 - 6\cos^2 x \sin^2 x = 0,
\]

или:

\[
1 - 6\cos^2 x \sin^2 x = 0.
\]

Теперь используем формулу двойного угла:

\[
\cos^2 x \sin^2 x = \frac{1}{4}\sin^2 2x,
\]

и подставляем её в уравнение:

\[
1 - 6 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2x = 0,
\]

\[
1 - \frac{3}{2} \sin^2 2x = 0.
\]

Отсюда:

\[
\frac{3}{2} \sin^2 2x = 1,
\]

\[
\sin^2 2x = \frac{2}{3}.
\]

Теперь возьмём квадратный корень:

\[
\sin 2x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}.
\]

Рассмотрим положительное решение:

\[
\sin 2x = \frac{\sqrt{6}}{3}.
\]

Найдём \( 2x \) в градусах:

\[
2x = \arcsin\left( \frac{\sqrt{6}}{3} \right) \approx 56,44^\circ.
\]

Теперь найдём \( x \):

\[
x = \frac{56,44^\circ}{2} \approx 28,22^\circ.
\]

Но это значение не лежит в заданном промежутке \( (0^\circ; 10^\circ) \).

Теперь рассмотрим отрицательное решение:

\[
\sin 2x = -\frac{\sqrt{6}}{3}.
\]

Получаем:

\[
2x = \arcsin\left( -\frac{\sqrt{6}}{3} \right) \approx -56,44^\circ.
\]

Но так как синус периодическая функция, можем найти значение в положительном промежутке:

\[
2x = 180^\circ - 56,44^\circ = 123,56^\circ,
\]

\[
x = \frac{123,56^\circ}{2} \approx 61,78^\circ.
\]

Это решение также не попадает в указанный промежуток.

Таким образом, решений в интервале \( (0^\circ; 10^\circ) \) нет.

Упрости выражение. cos^6x + sin^6x - 6 cos^6x sin^6x = 0 Запиши в поле ответа значение х в градусах в виде десятичной дроби, принадлежащее промежутку (0°; 10°).

Learn how to solve the trigonometric equation cos^6x + sin^6x - 6cos^6x sin^6x = 0. This solution applies key trigonometric identities, such as the Pythagorean identity and double angle formulas. Perfect for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation