Vi har två ekvationer:

1. $x^2 + xy = 22$
2. $y^2 + xy = 99$

Lösning

Vi vill lösa systemet av ekvationer med två variabler, $x$ och $y$.

Steg 1: Subtraktion för att eliminera $xy$

Subtrahera den första ekvationen från den andra:

$(y^2 + xy) - (x^2 + xy) = 99 - 22$

$y^2 - x^2 = 77$

Denna uttryck kan skrivas om som en faktorskillnad: $(y - x)(y + x) = 77$

Steg 2: Faktorisera

Faktorerna till 77 är: $77 = 1 \cdot 77, \quad 7 \cdot 11, \quad -1 \cdot -77, \quad -7 \cdot -11$

Vi undersöker möjliga lösningar genom att sätta $y - x = a$ och $y + x = b$, där $a \cdot b = 77$.

1. $y - x = 1$, $y + x = 77$
2. $y - x = 7$, $y + x = 11$
3. $y - x = -1$, $y + x = -77$
4. $y - x = -7$, $y + x = -11$

Steg 3: Lös för $x$ och $y$

Från $y - x = a$ och $y + x = b$ får vi:

$y = \frac{a + b}{2}, \quad x = \frac{b - a}{2}$

Vi löser varje fall:

Fall 1: $a = 1$, $b = 77$

$y = \frac{1 + 77}{2} = 39, \quad x = \frac{77 - 1}{2} = 38$

Kontroll: $x^2 + xy = 38^2 + 38 \cdot 39 = 1444 + 1482 = 2926 \quad \text{(ej uppfyllt)}.$

Fortsätt med nästa systemLåt oss lösa de återstående fallen noggrant och kontrollera om någon lösning uppfyller båda ekvationerna.

---

Fortsätter från fall 2: $a = 7$, $b = 11$

$y = \frac{7 + 11}{2} = 9, \quad x = \frac{11 - 7}{2} = 2$

Kontrollera i båda ekvationerna:

1. $x^2 + xy = 2^2 + 2 \cdot 9 = 4 + 18 = 22 \quad \text{(uppfyllt)}$
2. $y^2 + xy = 9^2 + 2 \cdot 9 = 81 + 18 = 99 \quad \text{(uppfyllt)}$

Så detta är en giltig lösning: $x = 2, \quad y = 9$

---

Fortsätter med fall 3: $a = -1$, $b = -77$

$y = \frac{-1 + (-77)}{2} = -39, \quad x = \frac{-77 - (-1)}{2} = -38$

Kontrollera i båda ekvationerna:

1. $x^2 + xy = (-38)^2 + (-38)(-39) = 1444 + 1482 = 2926 \quad \text{(ej uppfyllt)}$
2. Detta fall är ogiltigt.

---

Fortsätter med fall 4: $a = -7$, $b = -11$

$y = \frac{-7 + (-11)}{2} = -9, \quad x = \frac{-11 - (-7)}{2} = -2$

Kontrollera i båda ekvationerna:

1. $x^2 + xy = (-2)^2 + (-2)(-9) = 4 + 18 = 22 \quad \text{(uppfyllt)}$
2. $y^2 + xy = (-9)^2 + (-2)(-9) = 81 + 18 = 99 \quad \text{(uppfyllt)}$

Så detta är en giltig lösning: $x = -2, \quad y = -9$

---

Slutsats

De två lösningarna är:

1. $x = 2, \, y = 9$
2. $x = -2, \, y = -9$

---

Vill du ha mer hjälp med att visualisera detta eller ytterligare förklaringar?

Relaterade frågor:

1. Hur kan vi visualisera dessa ekvationer som grafer?
2. Hur kan system av ekvationer lösas med andra metoder, som substitution?
3. Vad är betydelsen av symmetri i lösningarna för dessa ekvationer?
4. Hur påverkar koefficienter lösningarnas natur i kvadratiska system?
5. Kan vi använda matrismetoder (t.ex. determinant) för att lösa detta system?

Ett tips:

Kontrollera alltid dina lösningar i alla ursprungliga ekvationer för att säkerställa att de är korrekta!