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Vamos a resolver este problema paso a paso, usando el método de eliminación de Gauss. 

### Información dada y planteamiento del sistema de ecuaciones

1. Las acciones de las tres empresas tienen los siguientes precios:
   - Empresa A: 20 euros por acción
   - Empresa B: 25 euros por acción
   - Empresa C: 40 euros por acción

2. Hemos comprado un total de 255 acciones, con un gasto total de 7000 euros.

3. Condiciones adicionales:
   - La cantidad de acciones de la Empresa A es la mitad de la suma de las acciones compradas en las empresas B y C.

Definamos las variables:
- \( x \): número de acciones compradas en la Empresa A.
- \( y \): número de acciones compradas en la Empresa B.
- \( z \): número de acciones compradas en la Empresa C.

### Sistema de ecuaciones

De acuerdo con la información, obtenemos las siguientes ecuaciones:

1. La ecuación del gasto total:
   \[
   20x + 25y + 40z = 7000
   \]

2. La ecuación del número total de acciones:
   \[
   x + y + z = 255
   \]

3. La relación entre las acciones de A y la suma de B y C:
   \[
   x = \frac{y + z}{2}
   \]
   que se puede reescribir como:
   \[
   2x = y + z
   \]

Nuestro sistema de ecuaciones es entonces:
\[
\begin{cases}
20x + 25y + 40z = 7000 \\
x + y + z = 255 \\
2x - y - z = 0
\end{cases}
\]

### Resolución del sistema por eliminación de Gauss

1. **Primera ecuación**: \( 20x + 25y + 40z = 7000 \)
2. **Segunda ecuación**: \( x + y + z = 255 \)
3. **Tercera ecuación**: \( 2x - y - z = 0 \)

Primero, eliminaremos \( x \) de la segunda y tercera ecuación usando la primera.

### Paso 1: Eliminar \( x \) de la segunda y tercera ecuación

Multiplicamos la segunda ecuación por \( 20 \) y la tercera ecuación por \( 10 \) para que el coeficiente de \( x \) sea el mismo que en la primera ecuación:

\[
20(x + y + z) = 20 \cdot 255 \Rightarrow 20x + 20y + 20z = 5100
\]
\[
10(2x - y - z) = 10 \cdot 0 \Rightarrow 20x - 10y - 10z = 0
\]

Ahora restamos estas ecuaciones de la primera:

Para la segunda:
\[
(20x + 25y + 40z) - (20x + 20y + 20z) = 7000 - 5100
\]
\[
5y + 20z = 1900
\]

Para la tercera:
\[
(20x + 25y + 40z) - (20x - 10y - 10z) = 7000 - 0
\]
\[
35y + 50z = 7000
\]

Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

\[
\begin{cases}
5y + 20z = 1900 \\
35y + 50z = 7000
\end{cases}
\]

### Paso 2: Resolver para \( y \) y \( z \)

Simplificamos la primera ecuación dividiéndola entre \( 5 \):

\[
y + 4z = 380
\]

Y la segunda ecuación dividiéndola entre \( 5 \):

\[
7y + 10z = 1400
\]

Luego, multiplicamos la primera ecuación por \( 7 \) y la restamos de la segunda para eliminar \( y \):

\[
7y + 28z = 2660
\]
\[
(7y + 10z) - (7y + 28z) = 1400 - 2660
\]
\[
-18z = -1260
\]
\[
z = 70
\]

Sustituyendo \( z = 70 \) en \( y + 4z = 380 \):

\[
y + 4(70) = 380
\]
\[
y + 280 = 380
\]
\[
y = 100
\]

Finalmente, sustituimos \( y = 100 \) y \( z = 70 \) en la ecuación \( x + y + z = 255 \):

\[
x + 100 + 70 = 255
\]
\[
x = 85
\]

### Solución

La cantidad de acciones compradas de cada empresa es:
- Empresa A: \( x = 85 \)
- Empresa B: \( y = 100 \)
- Empresa C: \( z = 70 \)

¿Te gustaría detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

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### Preguntas Relacionadas
1. ¿Cómo se puede resolver este sistema usando matrices?
2. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver sistemas de ecuaciones lineales?
3. ¿Cómo se podría verificar la solución?
4. ¿Cuándo es preferible usar el método de Gauss en lugar de otros métodos?
5. ¿Qué significa la consistencia en un sistema de ecuaciones?

### Tip
Al resolver sistemas de ecuaciones, siempre verifica tus resultados sustituyendo las soluciones en las ecuaciones originales para evitar errores.

Learn how to solve a system of equations involving three variables using Gaussian elimination. This step-by-step solution breaks down each phase, including matrix setup and elimination. Ideal for high school students studying systems of linear equations and matrix operations.

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