Ratkaistaan annettu yhtälöryhmä Gaussin menetelmällä.

Annettu matriisimuotoinen yhtälöryhmä on:

$\begin{bmatrix} 4 & -5 & 8 \\ -2 & 7 & 2 \\ -4 & -2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ -1 \end{bmatrix}$

Ratkaistaan tämä yhtälöryhmä vaiheittain.

Vaihe 1: Muodostetaan laajennettu matriisi

Laajennettu matriisi kirjoitetaan näin:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -5 & 8 & 0 \\ -2 & 7 & 2 & 8 \\ -4 & -2 & -1 & -1 \end{array}\right]$

Vaihe 2: Päädiagonaalin ensimmäinen alkio

Ensimmäisen rivin päädiagonaalin alkio on $4$. Normaalistetaan ensimmäinen rivi siten, että saamme ensimmäiseksi alkioksi $1$ jakamalla ensimmäinen rivi $4$:llä.

$R_1 = \frac{1}{4} R_1 = \left[ 1, -\frac{5}{4}, 2, 0 \right]$

Laajennettu matriisi näyttää nyt tältä:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{5}{4} & 2 & 0 \\ -2 & 7 & 2 & 8 \\ -4 & -2 & -1 & -1 \end{array}\right]$

Vaihe 3: Nollataan ensimmäisen sarakkeen alemmat luvut