In un cesto ci sono mele e pere Se aggiungo 5 mele, le mele saranno il triplo delle pere. Se invece tolgo 3 pere le mele saranno il quadruplo delle pere Quante mele e quante pere c'erano all'inizio?

Chiamiamo \( x \) il numero iniziale di mele e \( y \) il numero iniziale di pere. 

Dalle informazioni fornite, possiamo costruire il sistema di equazioni:

1. Se aggiungo 5 mele, le mele diventano \( x + 5 \), che è il triplo delle pere:  
   \[
   x + 5 = 3y
   \]

2. Se tolgo 3 pere, le mele rimangono \( x \), che diventa il quadruplo delle pere:  
   \[
   x = 4(y - 3)
   \]

Abbiamo quindi il sistema:  
\[
\begin{cases}
x + 5 = 3y \\
x = 4(y - 3)
\end{cases}
\]

### Risoluzione del sistema

Dalla seconda equazione:
\[
x = 4(y - 3) = 4y - 12
\]

Sostituiamo \( x \) nella prima equazione:
\[
4y - 12 + 5 = 3y
\]

\[
4y - 7 = 3y
\]

\[
y = 7
\]

Sostituendo \( y = 7 \) nella seconda equazione:
\[
x = 4(y - 3) = 4(7 - 3) = 4 \cdot 4 = 16
\]

### Soluzione
All'inizio c'erano **16 mele** e **7 pere**.

### Verifica
- Se aggiungo 5 mele, ci sono \( 16 + 5 = 21 \) mele, che è il triplo di \( 7 \) pere: \( 3 \cdot 7 = 21 \).
- Se tolgo 3 pere, rimangono \( 7 - 3 = 4 \) pere, e le 16 mele sono il quadruplo: \( 4 \cdot 4 = 16 \).

Tutto torna.

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Hai bisogno di ulteriori dettagli? 😊  
Ecco alcune domande correlate per esercizio:  

1. Cosa succede se aggiungiamo 3 pere invece di toglierne?  
2. Se ci fossero state 10 pere all'inizio, quante mele ci sarebbero state?  
3. Puoi scrivere un problema simile ma con diverse proporzioni (es. il doppio e il quintuplo)?  
4. Come risolveresti un problema simile con più variabili?  
5. Quali tecniche alternative esistono per risolvere questo sistema di equazioni?

**Tip:** Quando costruisci un sistema di equazioni, assegna significati chiari alle variabili per evitare confusione!

Learn how to solve the problem involving apples and pears using a system of equations. The detailed step-by-step solution explores algebraic techniques to find that there were initially 16 apples and 7 pears. Suitable for Grades 8-10.

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