Если приобрести 3 ручки , 4 тетради и 2 карандаша, то нужно заплатить 360 рублей. Если приобрести 2 такие же тетради, 1 ручку и 3 карандаша, то нужно заплатить 200 рублей. В итоге было куплены 1 карандаш, 1 тетрадь и 2 ручки за 205 рублей. Сколько стоит ручка, тетрадь и карандаш по отдельности?

Пусть \( x \) - цена ручки, \( y \) - цена тетради, \( z \) - цена карандаша. Нам даны следующие уравнения:

1. \( 3x + 4y + 2z = 360 \)
2. \( x + 2y + 3z = 200 \)
3. \( 2x + y + z = 205 \)

Решим систему уравнений.

1. \( 3x + 4y + 2z = 360 \) (Уравнение 1)
2. \( x + 2y + 3z = 200 \) (Уравнение 2)
3. \( 2x + y + z = 205 \) (Уравнение 3)

Начнем с исключения одной из переменных. Выразим одну из переменных из уравнения (3):

\[ z = 205 - 2x - y \]

Подставим \( z \) в уравнение (2):

\[ x + 2y + 3(205 - 2x - y) = 200 \]
\[ x + 2y + 615 - 6x - 3y = 200 \]
\[ -5x - y + 615 = 200 \]
\[ -5x - y = -415 \]
\[ 5x + y = 415 \] (Уравнение 4)

Теперь подставим \( z = 205 - 2x - y \) в уравнение (1):

\[ 3x + 4y + 2(205 - 2x - y) = 360 \]
\[ 3x + 4y + 410 - 4x - 2y = 360 \]
\[ -x + 2y + 410 = 360 \]
\[ -x + 2y = -50 \]
\[ x - 2y = 50 \] (Уравнение 5)

Теперь у нас система из двух уравнений:

1. \( 5x + y = 415 \)
2. \( x - 2y = 50 \)

Решим эту систему методом подстановки или сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы исключить \( y \):

\[ 2(x - 2y) = 2 \cdot 50 \]
\[ 2x - 4y = 100 \]

Теперь сложим его с первым уравнением:

\[ 5x + y = 415 \]
\[ 2x - 4y = 100 \]
\[ 7x - 3y = 515 \]

Из второго уравнения \( y \):

\[ 7x - 3y = 515 \]
\[ 7x = 515 + 3y \]
\[ x = \frac{515 + 3y}{7} \]

Теперь подставим это значение в уравнение:

\[ x - 2y = 50 \]

\[ \frac{515 + 3y}{7} - 2y = 50 \]

Найдем \( y \):

\[ 515 + 3y - 14y = 350 \]
\[ 515 - 11y = 350 \]
\[ -11y = -165 \]
\[ y = 15 \]

Теперь найдем \( x \):

\[ x - 2 \cdot 15 = 50 \]
\[ x - 30 = 50 \]
\[ x = 80 \]

Теперь найдем \( z \):

\[ z = 205 - 2x - y \]
\[ z = 205 - 2 \cdot 80 - 15 \]
\[ z = 205 - 160 - 15 \]
\[ z = 30 \]

Итак, стоимость ручки \( x = 80 \) рублей, стоимость тетради \( y = 15 \) рублей, стоимость карандаша \( z = 30 \) рублей.

Хотите ли вы получить подробности решения или у вас есть другие вопросы? Вот 5 вопросов, которые вы можете задать:

1. Как решить систему линейных уравнений с помощью матриц?
2. Что такое определитель матрицы и как его вычислить?
3. Как решать квадратные уравнения?
4. Что такое дискриминант и как его использовать?
5. Как решить уравнение с двумя неизвестными графическим методом?

Совет: при решении систем линейных уравнений старайтесь проверять решения, подставляя их обратно в исходные уравнения для проверки правильности.

Learn how to solve a system of linear equations using substitution and elimination methods. This problem involves finding the prices of pens, notebooks, and pencils based on given equations and solving step-by-step. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation