Math Problem Statement

Ratkaise yhtälöryhmä ⎧⎩⎨5x−2y+4z=13 −2x+y+z=3 4x+y=6 Suorita tehtävä matriisien avulla. Anna vastaukseksi tarkkoja arvoja,

Solution

Ratkaistaan annettu yhtälöryhmä matriisien avulla. Yhtälöryhmä voidaan esittää seuraavasti:

5x - 2y + 4z = 13 \\ -2x + y + z = 3 \\ 4x + y = 6 \end{cases}$$ ### 1. Esitetään yhtälöryhmä matriisimuodossa Kirjoitamme yhtälöryhmän muodossa $$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$, missä: $$A = \begin{bmatrix} 5 & -2 & 4 \\ -2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 13 \\ 3 \\ 6 \end{bmatrix}.$$ ### 2. Ratkaisumenetelmä Ratkaistaan matriisiyhtälö $$\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$$, missä $$A^{-1}$$ on matriisi $$A$$:n käänteismatriisi. Laskemme tämän. Ratkaisen matriisilaskennan nyt. numpy as np # Matriisit A ja b A = np.array([[5, -2, 4], [-2, 1, 1], [4, 1, 0]]) b = np.array([13, 3, 6]) # Ratkaisu x = A^(-1) * b x = np.linalg.solve(A, b) xRatkaisu yhtälöryhmälle on: $$x = 1, \quad y = 2, \quad z = 3$$ Tämä tarkoittaa, että ratkaisu tarkkoina arvoina on $$x = 1$$, $$y = 2$$, ja $$z = 3$$. Jos tarvitset tarkempia välivaiheita, kuten käänteismatriisin laskemista, voin näyttää ne. Haluatko lisätietoja? ### Lisäkysymyksiä: 1. Miten käänteismatriisi lasketaan yksityiskohtaisesti? 2. Miksi matriisimenetelmä toimii lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemisessa? 3. Mitä muita menetelmiä voidaan käyttää ratkaisemaan tämä yhtälöryhmä? 4. Voiko tämä ongelma johtaa äärettömään ratkaisuun tai ei-ratkaistavuuteen? Milloin? 5. Kuinka tarkistaa ratkaisun oikeellisuus laskemalla se alkuperäisillä yhtälöillä? **Vinkki:** Matriisimenetelmä on tehokas, kun ratkaistavana on suuri määrä yhtälöitä, sillä numeeriset algoritmit voivat käsitellä matriiseja nopeasti.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Matrix Operations
System of Linear Equations

Formulas

Matrix representation of a linear system: A * x = b
Inverse matrix formula: x = A^(-1) * b
Determinant and adjoint for calculating matrix inverse

Theorems

Invertible Matrix Theorem
Cramer's Rule (optional relevance)

Suitable Grade Level

Undergraduate or Advanced High School (Grades 11-12)