Math Problem Statement
Реши систему управления
Реши систему управления
Solution
Для решения системы линейных уравнений:
x - 2y + 3z = 2 \quad (1) \\ 4x + 2y - 5z = 1 \quad (2) \\ 8x - 7y + 4z = 5 \quad (3) \end{cases}$$ можно использовать метод Гаусса (прямое исключение) или метод Крамера (определители). Решу с помощью метода Гаусса. --- ### Шаг 1: Запишем матрицу коэффициентов и расширенную матрицу Матрица коэффициентов и правая часть: $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 2 \\ 4 & 2 & -5 & 1 \\ 8 & -7 & 4 & 5 \end{array} \right)$$ --- ### Шаг 2: Приведение к ступенчатому виду **1. Обнулим элементы под первым $$x$$-коэффициентом в строках 2 и 3:** $$\text{Строка 2} \to \text{Строка 2} - 4 \cdot \text{Строка 1}$$ $$\text{Строка 3} \to \text{Строка 3} - 8 \cdot \text{Строка 1}$$ Рассчитаем новые строки: - **Строка 2**: $$(4, 2, -5, 1) - 4 \cdot (1, -2, 3, 2) = (0, 10, -17, -7)$$ - **Строка 3**: $$(8, -7, 4, 5) - 8 \cdot (1, -2, 3, 2) = (0, 9, -20, -11)$$ Получаем: $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 2 \\ 0 & 10 & -17 & -7 \\ 0 & 9 & -20 & -11 \end{array} \right)$$ --- **2. Обнулим элемент $$a_{32}$$ (в строке 3 под вторым $$y$$-коэффициентом):** $$\text{Строка 3} \to \text{Строка 3} - \frac{9}{10} \cdot \text{Строка 2}$$ Рассчитаем: - **Строка 3**: $$(0, 9, -20, -11) - \frac{9}{10} \cdot (0, 10, -17, -7)$$ Выполним действия: - Коэффициенты: $$9 - \frac{9}{10} \cdot 10 = 0$$, - $$-20 - \frac{9}{10} \cdot (-17) = -20 + 15.3 = -4.7$$, - Правая часть: $$-11 - \frac{9}{10} \cdot (-7) = -11 + 6.3 = -4.7$$. Матрица становится: $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 2 \\ 0 & 10 & -17 & -7 \\ 0 & 0 & -4.7 & -4.7 \end{array} \right)$$ --- ### Шаг 3: Обратный ход **Найдем $$z$$:** $$-4.7z = -4.7 \implies z = 1$$ **Найдем $$y$$:** $$10y - 17z = -7 \implies 10y - 17 \cdot 1 = -7$$ $$10y - 17 = -7 \implies 10y = 10 \implies y = 1$$ **Найдем $$x$$:** $$x - 2y + 3z = 2 \implies x - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 2$$ $$x - 2 + 3 = 2 \implies x + 1 = 2 \implies x = 1$$ --- ### Решение системы: $$x = 1, \, y = 1, \, z = 1$$ --- ### Проверка: 1. $$1 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 1 - 2 + 3 = 2 \quad \text{(выполнено)}$$ 2. $$4 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 5 \cdot 1 = 4 + 2 - 5 = 1 \quad \text{(выполнено)}$$ 3. $$8 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 8 - 7 + 4 = 5 \quad \text{(выполнено)}$$ --- ### Ответ: $$x = 1, \, y = 1, \, z = 1$$ Есть ли у вас вопросы или нужно объяснить какой-то шаг детальнее? --- ### Связанные вопросы: 1. Как решать систему методом Крамера? 2. Что такое метод Гаусса и как он работает? 3. Как решать систему уравнений с параметрами? 4. Как решать нелинейные системы уравнений? 5. Как использовать матричный метод для решения систем? ### Совет: Метод Гаусса — универсальный способ решения систем линейных уравнений. Он особенно полезен для больших систем.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Equations
Gaussian Elimination
Determinants
Cramer's Rule
Formulas
Gaussian elimination matrix transformations
Cramer's Rule using determinants for solving Ax = B
Theorems
Gaussian Elimination Method
Properties of Determinants
Suitable Grade Level
Grade 10-12