https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1724881176035e5cxrnet.jpg

resolver con el metodo de eliminacion gaussiana

Para resolver este sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de eliminación gaussiana, seguiremos los siguientes pasos:

### Paso 1: Escribir el sistema en forma de matriz aumentada
Dado el sistema de ecuaciones:

\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2}x_1 - \frac{3}{7}x_2 + \frac{2}{9}x_3 &= \frac{349}{630} \\
\frac{2}{3}x_1 + \frac{4}{9}x_2 - \frac{2}{5}x_3 &= \frac{19}{45} \\
\frac{4}{5}x_1 - \frac{1}{8}x_2 + \frac{4}{3}x_3 &= \frac{139}{150}
\end{aligned}
\]

La matriz aumentada se escribe como:

\[
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -\frac{3}{7} & \frac{2}{9} & \left|\frac{349}{630}\right) \\
\frac{2}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{2}{5} & \left|\frac{19}{45}\right) \\
\frac{4}{5} & -\frac{1}{8} & \frac{4}{3} & \left|\frac{139}{150}\right)
\end{pmatrix}
\]

### Paso 2: Simplificar las fracciones y convertirlas en decimal (opcional)
Para mayor facilidad en los cálculos, podemos convertir las fracciones a su equivalente decimal.

\[
\begin{pmatrix}
0.5 & -0.4286 & 0.2222 & \left|0.5532\right) \\
0.6667 & 0.4444 & -0.4 & \left|0.4222\right) \\
0.8 & -0.125 & 1.3333 & \left|0.9267\right)
\end{pmatrix}
\]

### Paso 3: Aplicar la eliminación Gaussiana
Vamos a hacer operaciones fila para obtener una matriz triangular superior.

1. **Eliminar \(x_1\) de la segunda y tercera fila:**

   - Fila 2: \(R_2 = R_2 - \frac{2}{3} \times R_1\)
   - Fila 3: \(R_3 = R_3 - \frac{4}{5} \times R_1\)

   Esto dará como resultado la siguiente matriz:

\[
\begin{pmatrix}
0.5 & -0.4286 & 0.2222 & \left|0.5532\right) \\
0 & 0.7222 & -0.5481 & \left|0.0548\right) \\
0 & 0.2194 & 0.7778 & \left|0.5056\right)
\end{pmatrix}
\]

2. **Eliminar \(x_2\) de la tercera fila:**

   - Fila 3: \(R_3 = R_3 - \frac{0.2194}{0.7222} \times R_2\)

   Después de realizar esta operación, la matriz triangular superior se convierte en:

\[
\begin{pmatrix}
0.5 & -0.4286 & 0.2222 & \left|0.5532\right) \\
0 & 0.7222 & -0.5481 & \left|0.0548\right) \\
0 & 0 & 0.9323 & \left|0.4885\right)
\end{pmatrix}
\]

### Paso 4: Sustitución hacia atrás
Ahora resolvemos el sistema a partir de la matriz triangular superior.

1. **De la tercera fila** \(0.9323x_3 = 0.4885\) se obtiene:
   \[
   x_3 = \frac{0.4885}{0.9323} \approx 0.5238
   \]

2. **Sustituyendo \(x_3\) en la segunda fila** \(0.7222x_2 - 0.5481 \times 0.5238 = 0.0548\):
   \[
   x_2 = \frac{0.0548 + 0.5481 \times 0.5238}{0.7222} \approx 0.5
   \]

3. **Finalmente, sustituyendo \(x_2\) y \(x_3\) en la primera fila**:
   \[
   0.5x_1 - 0.4286 \times 0.5 + 0.2222 \times 0.5238 = 0.5532 \Rightarrow x_1 = 1.5
   \]

### Solución
\[
x_1 = 1.5, \quad x_2 = 0.5, \quad x_3 = 0.5238
\]

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso específico o tienes alguna pregunta? Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se pueden interpretar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales?
2. ¿Qué ventajas tiene la eliminación gaussiana frente a otros métodos de resolución de sistemas de ecuaciones?
3. ¿Qué ocurre si una fila en la matriz se convierte en una fila de ceros durante la eliminación gaussiana?
4. ¿Cómo afecta la precisión decimal al resultado final en cálculos manuales?
5. ¿Qué es una matriz escalonada y cómo se relaciona con la eliminación gaussiana?

**Tip:** La eliminación gaussiana es un método muy efectivo para resolver sistemas lineales, pero se debe tener cuidado con la precisión decimal, especialmente cuando se realizan cálculos manuales o con fracciones complejas.

Learn how to solve a system of linear equations using Gaussian elimination method with a detailed step-by-step solution. This problem involves matrix operations and is suitable for advanced high school and college-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation