risolvi il sistema x alla seconda + y alla seconda =4y e x-y+5=0

Per risolvere il sistema di equazioni:

\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 4y \\
x - y + 5 = 0
\end{cases}
\]

Seguiamo questi passaggi:

### 1. Risolvi la seconda equazione per una delle variabili.
Partiamo dalla seconda equazione:
\[
x - y + 5 = 0
\]
Isoliamo \(x\):
\[
x = y - 5
\]

### 2. Sostituisci \(x = y - 5\) nella prima equazione.
Ora sostituiamo \(x = y - 5\) nella prima equazione \(x^2 + y^2 = 4y\):
\[
(y - 5)^2 + y^2 = 4y
\]
Espandiamo e semplifichiamo:
\[
(y^2 - 10y + 25) + y^2 = 4y
\]
\[
2y^2 - 10y + 25 = 4y
\]
Portiamo tutto sul lato sinistro:
\[
2y^2 - 14y + 25 = 0
\]
Dividiamo per 2:
\[
y^2 - 7y + \frac{25}{2} = 0
\]

### 3. Risolvi l'equazione quadratica.
Usiamo la formula risolutiva per le equazioni quadratiche:
\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
In questo caso:
\[
a = 1, \quad b = -7, \quad c = \frac{25}{2}
\]
Sostituiamo i valori:
\[
y = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 50}}{2}
\]
\[
y = \frac{7 \pm \sqrt{-1}}{2}
\]
Dato che il discriminante è negativo, le soluzioni per \(y\) sono complesse:
\[
y = \frac{7 \pm i}{2}
\]

### 4. Trova \(x\) corrispondente.
Sostituendo i valori di \(y\) nelle soluzioni \(x = y - 5\), otteniamo:
\[
x = \frac{7 \pm i}{2} - 5 = \frac{-3 \pm i}{2}
\]

### Soluzione finale
Le soluzioni del sistema sono:
\[
(x_1, y_1) = \left(\frac{-3 + i}{2}, \frac{7 + i}{2}\right)
\]
\[
(x_2, y_2) = \left(\frac{-3 - i}{2}, \frac{7 - i}{2}\right)
\]

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**Domande correlate:**
1. Come si risolvono le equazioni quadratiche con numeri complessi?
2. Qual è il significato geometrico di soluzioni complesse in un sistema di equazioni?
3. Come si verifica se un sistema di equazioni ha soluzioni reali o complesse?
4. Cosa significa un discriminante negativo in un'equazione quadratica?
5. Come si rappresentano le soluzioni complesse sul piano complesso?

**Tip:** Quando il discriminante di un'equazione quadratica è negativo, le soluzioni sono numeri complessi, spesso coinvolgendo l'unità immaginaria \(i\).

Learn how to solve the system of equations x^2 + y^2 = 4y and x - y + 5 = 0 with detailed steps and solutions involving complex numbers. Explore the use of quadratic formulas and the discriminant theorem in solving these equations. Suitable for high school students.

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