Vi har mängden $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ och delmängderna

• $A = \{1, 2, 3\}$
• $B = \{3, 4, 5\}$
• $C = \{3, 4, 6\}$

Vi söker de delmängder $X \subseteq U$ som uppfyller ekvationen:

$(A \cap X) \cup C = (B \cap X^c) \cup C$

Steg 1: Dela upp ekvationen

Vi börjar med att analysera båda sidor av ekvationen.

Vänster sida: $(A \cap X) \cup C$

Den vänstra sidan innebär att vi tar snittet av $A$ och $X$, och sedan förenar resultatet med $C$.

• $A = \{1, 2, 3\}$
• $A \cap X$ är mängden som består av de element i $A$ som också finns i $X$.
• Efter att ha fått $A \cap X$, lägger vi till $C = \{3, 4, 6\}$.

Höger sida: $(B \cap X^c) \cup C$

Den högra sidan innebär att vi tar snittet av $B$ och komplementet till $X$, och sedan förenar resultatet med $C$.

• $B = \{3, 4, 5\}$
• $X^c$ är komplementet till $X$ i förhållande till $U$, alltså alla element i $U$ som inte finns i $X$.
• $B \cap X^c$ är mängden som består av de element i $B$ som också finns i $X^c$.
• Efter att ha fått $B \cap X^c$, lägger vi till $C = \{3, 4, 6\}$.

Steg 2: Analysera element för element

Låt oss analysera varje element i $U$ och se vad de bidrar med till ekvationen:

• Elementet 1: Finns i $A$, men inte i $B$ eller $C$. Det kan bara ingå på vänster sida genom $A \cap X$, så för att ekvationen ska vara uppfylld måste $1 \notin X$.

• Elementet 2: Finns i $A$, men inte i $B$ eller $C$. Liknande resonemang gäller: $2 \notin X$.

• Elementet 3: Finns i $A$, $B$, och $C$. Eftersom $3$ alltid ingår på båda sidor genom $C$, spelar det ingen roll om $3$ är i $X$ eller inte.

• Elementet 4: Finns i $B$ och $C$, men inte i $A$. Det ingår alltid på båda sidor genom $C$, så det spelar ingen roll om $4$ är i $X$ eller inte.

• Elementet 5: Finns i $B$, men inte i $A$ eller $C$. Det kan bara ingå på höger sida genom $B \cap X^c$, så $5 \in X$ måste gälla för att undvika att få med $5$ på höger sida (där det annars skulle ingå via $B \cap X^c$).

• Elementet 6: Finns i $C$, men inte i $A$ eller $B$. Det ingår alltid genom $C$, så det spelar ingen roll om $6$ är i $X$ eller inte.

• Elementet 7: Finns inte i $A$, $B$, eller $C$. Det kan inte ingå på någon sida så länge det inte är i $X$, så $7 \notin X$.

Steg 3: Slutsats

Sammanfattningsvis får vi följande villkor för $X$:

• $1 \notin X$
• $2 \notin X$
• $5 \in X$
• $7 \notin X$

För $3$, $4$, och $6$ kan vi välja fritt om de ska vara med i $X$ eller inte.

Steg 4: Antal delmängder

Det finns tre element ($3$, $4$, $6$) där vi kan välja fritt om de ska vara med i $X$ eller inte. Antalet sådana val är $2^3 = 8$.

Svar

Det finns 8 sådana delmängder $X$ som uppfyller ekvationen.

Vill du ha mer detaljer eller förklaring på något specifikt steg?

Relaterade frågor:

1. Vad är betydelsen av komplementet av en mängd?
2. Hur definieras snittet mellan två mängder?
3. Vad innebär unionen mellan två mängder?
4. Hur fungerar en mängdoperation när en mängd är tom?
5. Vad händer om vi inkluderar alla element i en mängd i en operation?

Tips: Vid mängdoperationer är det viktigt att hålla ordning på vilka element som tillhör respektive mängd och hur varje operation påverkar resultatet.