유리식은 1/n×(n+1) = 1/n - 1/n+1의 관계가 성립한다. 이것을 이용하여 다음을 계산하여라. 1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + ... + 1/2016×2017

주어진 문제에서 유리식의 관계 \( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \)를 이용하여 다음 합을 계산할 수 있습니다:

\[
S = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{2016 \times 2017}
\]

우선, 각 항을 유리식의 관계를 이용해 변형합니다:

\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]

따라서 주어진 합은 다음과 같이 변형됩니다:

\[
S = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} \right)
\]

이 표현에서 중간에 있는 항들은 모두 상쇄되므로, 남는 것은 처음과 마지막 항만입니다:

\[
S = 1 - \frac{1}{2017}
\]

따라서, 계산하면:

\[
S = 1 - \frac{1}{2017} = \frac{2017}{2017} - \frac{1}{2017} = \frac{2016}{2017}
\]

결론적으로, 주어진 합의 값은 \( \frac{2016}{2017} \)입니다.

궁금한 점이 있거나 추가 설명이 필요하신가요?

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Learn how to solve the series 1/(1×2) + 1/(2×3) + ... + 1/(2016×2017) using the formula 1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1). This problem covers key concepts of algebra, series, and telescoping series. Suitable for students in Grades 9-11.

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