주어진 문제를 풀기 위해 먼저 주어진 유리식 $\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$을 확인해 봅시다. 이 식은 부분분수 분해법에 해당하며, 이를 이용하면 더 복잡한 합을 간단히 계산할 수 있습니다.

1. 유리식 확인

주어진 유리식 $\frac{1}{n(n-1)}$을 변형해 보면:

$\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$

이 식은 올바릅니다. 이를 이용해 주어진 합을 계산할 수 있습니다.

2. 주어진 합을 변형

문제에서 구하고자 하는 합은 다음과 같습니다:

$S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{2016 \cdot 2017}$

이를 위의 부분분수 분해를 적용하면:

$S = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} \right)$

3. 계산

위 식을 자세히 보면, 대부분의 항들이 소거됩니다. 즉, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, ... 등은 앞뒤로 소거되고, 남는 항은 처음과 마지막 항뿐입니다:

$S = 1 - \frac{1}{2017}$

4. 결론

따라서 합은 다음과 같습니다:

$S = 1 - \frac{1}{2017} = \frac{2017}{2017} - \frac{1}{2017} = \frac{2016}{2017}$

따라서 답은 $\frac{2016}{2017}$입니다.

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팁

부분분수 분해는 많은 항들이 소거되어 계산을 단순화하는 강력한 도구입니다.