유리식은 1/n*(n-1)=1/n-1/n+1의 관계가 성립한다. 이것을 이용하여 다음을 계산하여라. 1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/2016*2017

주어진 문제를 풀기 위해 먼저 주어진 유리식 \( \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \)을 확인해 봅시다. 이 식은 부분분수 분해법에 해당하며, 이를 이용하면 더 복잡한 합을 간단히 계산할 수 있습니다.

### 1. 유리식 확인
주어진 유리식 \( \frac{1}{n(n-1)} \)을 변형해 보면:

\[
\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}
\]

이 식은 올바릅니다. 이를 이용해 주어진 합을 계산할 수 있습니다.

### 2. 주어진 합을 변형
문제에서 구하고자 하는 합은 다음과 같습니다:

\[
S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{2016 \cdot 2017}
\]

이를 위의 부분분수 분해를 적용하면:

\[
S = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} \right)
\]

### 3. 계산
위 식을 자세히 보면, 대부분의 항들이 소거됩니다. 즉, \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), ... 등은 앞뒤로 소거되고, 남는 항은 처음과 마지막 항뿐입니다:

\[
S = 1 - \frac{1}{2017}
\]

### 4. 결론
따라서 합은 다음과 같습니다:

\[
S = 1 - \frac{1}{2017} = \frac{2017}{2017} - \frac{1}{2017} = \frac{2016}{2017}
\]

따라서 답은 \( \frac{2016}{2017} \)입니다.

질문이 있거나 더 자세한 설명이 필요하신가요?

### 관련된 문제들
1. 부분분수 분해를 이용한 합 계산의 또 다른 예는?
2. 유리식을 이용한 무한급수의 계산은 어떻게 할 수 있을까요?
3. 소거되는 항이 많은 수열의 일반적인 성질은 무엇인가요?
4. \( \frac{1}{n(n+1)} \) 형태의 합은 어떻게 계산할 수 있을까요?
5. 합이 소거되지 않는 경우의 계산법은?

### 팁
부분분수 분해는 많은 항들이 소거되어 계산을 단순화하는 강력한 도구입니다.

Solve the series 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/(2016*2017) using partial fraction decomposition and the telescoping series method. This detailed solution covers key algebraic concepts and formulas, ideal for Grades 10-12.

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