rezolvati inecuatia x la a2a +2x+3  totul supra 2x la a 2 a -5x+2 mai mic decat 0

Avem de rezolvat inecuația:

\[
\frac{x^2 + 2x + 3}{2x^2 - 5x + 2} < 0
\]

### 1. Determinarea rădăcinilor numerelor de sus și de jos:
Pentru a rezolva această inecuatie, trebuie să analizăm semnul fracției în funcție de valorile lui \(x\). Primul pas este să determinăm când numărătorul și numitorul sunt egale cu zero.

#### Numărătorul:
\[
x^2 + 2x + 3 = 0
\]
Discriminantul:
\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8
\]
Deoarece discriminantul este negativ (\(\Delta < 0\)), ecuația \(x^2 + 2x + 3 = 0\) nu are soluții reale. Astfel, numărătorul este întotdeauna pozitiv.

#### Numitorul:
\[
2x^2 - 5x + 2 = 0
\]
Discriminantul:
\[
\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9
\]
Soluțiile:
\[
x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]
\[
x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2
\]

### 2. Studiul semnului fracției
Vom analiza semnul fracției \(\frac{x^2 + 2x + 3}{2x^2 - 5x + 2}\) în funcție de rădăcinile numitorului \(x_1 = \frac{1}{2}\) și \(x_2 = 2\).

Numărătorul \(x^2 + 2x + 3\) este întotdeauna pozitiv, așadar semnul fracției depinde doar de numitorul \(2x^2 - 5x + 2\).

1. Pentru \(x < \frac{1}{2}\), \(2x^2 - 5x + 2 > 0\), deci fracția este pozitivă.
2. Pentru \(\frac{1}{2} < x < 2\), \(2x^2 - 5x + 2 < 0\), deci fracția este negativă.
3. Pentru \(x > 2\), \(2x^2 - 5x + 2 > 0\), deci fracția este pozitivă.

La \(x = \frac{1}{2}\) și \(x = 2\), fracția nu este definită deoarece numitorul este zero.

### 3. Soluția inecuației:
Ne interesează unde fracția este mai mică decât 0, adică unde semnul fracției este negativ:

\[
\frac{1}{2} < x < 2
\]

### Soluția finală:
Intervalul soluției este:
\[
x \in \left(\frac{1}{2}, 2\right)
\]

### Ai nevoie de mai multe detalii sau explicații suplimentare?

#### Întrebări similare:
1. Cum se rezolvă o inecuație de gradul al doilea?
2. Cum afectează discriminantul semnul soluțiilor unei ecuații?
3. Cum se determină semnul unei fracții raționale?
4. Ce se întâmplă dacă numărătorul și numitorul nu au soluții reale?
5. Cum se abordează inecuațiile cu fracții complexe?

#### Sfaturile zilei:
Când rezolvi inecuații cu fracții raționale, verifică întotdeauna unde fracția nu este definită (când numitorul este zero).

rezolvati inecuatia x la a2a +2x+3 totul supra 2x la a 2 a -5x+2 mai mic decat 0

Explore how to solve the inequality (x^2 + 2x + 3) / (2x^2 - 5x + 2) < 0 with a clear step-by-step solution. This problem includes concepts like quadratic discriminants, sign analysis, and rational functions. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation