У нас дано неравенство:

$\frac{(5x - 6)(2x + 3)}{(x - 5)(x + 7)} \leq 0$

Шаг 1: Найдем нули числителя

Числитель равен нулю, когда:

$(5x - 6)(2x + 3) = 0$

1. $5x - 6 = 0$ ⟹ $x = \frac{6}{5}$
2. $2x + 3 = 0$ ⟹ $x = -\frac{3}{2}$

Шаг 2: Найдем нули знаменателя

Знаменатель равен нулю, когда:

$(x - 5)(x + 7) = 0$

1. $x - 5 = 0$ ⟹ $x = 5$
2. $x + 7 = 0$ ⟹ $x = -7$

Шаг 3: Определим критические точки

Таким образом, критические точки — это:

$x = -7, -\frac{3}{2}, \frac{6}{5}, 5$

Шаг 4: Исследуем знак на промежутках

Определим знаки выражения на каждом промежутке, используя эти критические точки:

1. $(-\infty, -7)$
2. $(-7, -\frac{3}{2})$
3. $(-\frac{3}{2}, \frac{6}{5})$
4. $(\frac{6}{5}, 5)$
5. $(5, +\infty)$

На каждом промежутке исследуем знак числителя и знаменателя, подставляя значения из этих промежутков.

Шаг 5: Окончательный ответ

Выражение меньше или равно нулю на промежутках, где произведение числителя и знаменателя отрицательно или равно нулю. Эти промежутки будут:

$x \in [-7, -\frac{3}{2}] \cup \left[\frac{6}{5}, 5\right)$

Шаг 6: Натуральные решения меньше 10

Найдем все натуральные решения, которые принадлежат указанным промежуткам и меньше 10:

1. Для $[-7, -\frac{3}{2}]$ нет натуральных решений.
2. Для $\left[\frac{6}{5}, 5\right)$ натуральные решения: $x = 2, 3, 4$.

Шаг 7: Сумма всех натуральных решений

Сумма всех натуральных решений:

$2 + 3 + 4 = 9$

Ответ: 9

---

Хотите подробнее узнать о каком-то этапе решения?
Вот 5 вопросов для углубленного понимания:

1. Как исследовать знак на каждом промежутке?
2. Почему критические точки делят область на промежутки?
3. Как учитываются точки разрыва в неравенствах?
4. Можно ли записать это решение с помощью числовой оси?
5. Как использовать свойства рациональных функций для решения неравенств?

Совет: при решении дробных неравенств важно помнить, что на нулях знаменателя функция не определена.