Решить неравенство:
2 4
2 3
( 5)(2 ) ( 6) ( 3) 0
(1 5 ) ( 7)
x x x x
x x x
   

 
. В ответе укажите сумму всех натуральных
решений, меньших 10.


У нас дано неравенство:

\[
\frac{(5x - 6)(2x + 3)}{(x - 5)(x + 7)} \leq 0
\]

### Шаг 1: Найдем нули числителя
Числитель равен нулю, когда:

\[
(5x - 6)(2x + 3) = 0
\]

1. \( 5x - 6 = 0 \)  ⟹  \( x = \frac{6}{5} \)
2. \( 2x + 3 = 0 \)  ⟹  \( x = -\frac{3}{2} \)

### Шаг 2: Найдем нули знаменателя
Знаменатель равен нулю, когда:

\[
(x - 5)(x + 7) = 0
\]

1. \( x - 5 = 0 \)  ⟹  \( x = 5 \)
2. \( x + 7 = 0 \)  ⟹  \( x = -7 \)

### Шаг 3: Определим критические точки
Таким образом, критические точки — это:

\[
x = -7, -\frac{3}{2}, \frac{6}{5}, 5
\]

### Шаг 4: Исследуем знак на промежутках
Определим знаки выражения на каждом промежутке, используя эти критические точки:

1. \( (-\infty, -7) \)
2. \( (-7, -\frac{3}{2}) \)
3. \( (-\frac{3}{2}, \frac{6}{5}) \)
4. \( (\frac{6}{5}, 5) \)
5. \( (5, +\infty) \)

На каждом промежутке исследуем знак числителя и знаменателя, подставляя значения из этих промежутков.

### Шаг 5: Окончательный ответ
Выражение меньше или равно нулю на промежутках, где произведение числителя и знаменателя отрицательно или равно нулю. Эти промежутки будут:

\[
x \in [-7, -\frac{3}{2}] \cup \left[\frac{6}{5}, 5\right)
\]

### Шаг 6: Натуральные решения меньше 10
Найдем все натуральные решения, которые принадлежат указанным промежуткам и меньше 10:

1. Для \( [-7, -\frac{3}{2}] \) нет натуральных решений.
2. Для \( \left[\frac{6}{5}, 5\right) \) натуральные решения: \( x = 2, 3, 4 \).

### Шаг 7: Сумма всех натуральных решений
Сумма всех натуральных решений:

\[
2 + 3 + 4 = 9
\]

**Ответ: 9**

---

Хотите подробнее узнать о каком-то этапе решения?  
Вот 5 вопросов для углубленного понимания:

1. Как исследовать знак на каждом промежутке?
2. Почему критические точки делят область на промежутки?
3. Как учитываются точки разрыва в неравенствах?
4. Можно ли записать это решение с помощью числовой оси?
5. Как использовать свойства рациональных функций для решения неравенств?

**Совет:** при решении дробных неравенств важно помнить, что на нулях знаменателя функция не определена.

Решить неравенство: 2 4 2 3 (5x - 6)(2x + 3) / (x - 5)(x + 7) ≤ 0. В ответе укажите сумму всех натуральных решений, меньших 10.

Learn how to solve the rational inequality (5x - 6)(2x + 3) / (x - 5)(x + 7) ≤ 0 with step-by-step solutions. This problem involves analyzing rational functions, determining critical points, and testing intervals. Includes the sum of natural solutions less than 10. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation