Math Problem Statement

اگر جملات یک الگوی درجه دوم a,-8,-9,-8,b,... باشند،حاصل 2a-b کدام است؟

Solution

برای پیدا کردن 2ab2a - b ابتدا نیاز داریم تا الگوی جملات درجه دوم را بفهمیم.

فرض کنیم الگوی جملات به صورت یک دنباله‌ی درجه دوم باشد. به این معنی که هر جمله با رابطه‌ای از نوع:

an=An2+Bn+Ca_n = An^2 + Bn + C

بیان می‌شود. برای پیدا کردن ضرایب AA، BB و CC می‌توانیم از سه جمله اول استفاده کنیم.

  1. a1=A(1)2+B(1)+C=A+B+C=aa_1 = A(1)^2 + B(1) + C = A + B + C = a
  2. a2=A(2)2+B(2)+C=4A+2B+C=8a_2 = A(2)^2 + B(2) + C = 4A + 2B + C = -8
  3. a3=A(3)2+B(3)+C=9A+3B+C=9a_3 = A(3)^2 + B(3) + C = 9A + 3B + C = -9

حالا داریم:

A + B + C = a \\ 4A + 2B + C = -8 \\ 9A + 3B + C = -9 \end{cases}$$ ابتدا از معادلات دوم و سوم معادله اول را کم می‌کنیم تا ضرایب $$A$$ و $$B$$ را بیابیم. معادله دوم - معادله اول: $$(4A + 2B + C) - (A + B + C) = -8 - a \\ 3A + B = -8 - a \quad \text{(1)}$$ معادله سوم - معادله دوم: $$(9A + 3B + C) - (4A + 2B + C) = -9 + 8 \\ 5A + B = -1 \quad \text{(2)}$$ حال دو معادله (1) و (2) داریم: $$\begin{cases} 3A + B = -8 - a \\ 5A + B = -1 \end{cases}$$ با کم کردن معادله اول از دوم: $$(5A + B) - (3A + B) = -1 - (-8 - a) \\ 2A = 7 + a \\ A = \frac{7 + a}{2}$$ اکنون $$A$$ را در یکی از معادلات قرار می‌دهیم تا $$B$$ را پیدا کنیم: $$3\left(\frac{7 + a}{2}\right) + B = -8 - a \\ \frac{21 + 3a}{2} + B = -8 - a \\ 21 + 3a + 2B = -16 - 2a \\ 2B = -37 - 5a \\ B = \frac{-37 - 5a}{2}$$ حال $$A$$ و $$B$$ را داریم، برای یافتن $$C$$ یکی از معادلات اصلی را استفاده می‌کنیم، مثلاً: $$A + B + C = a \\ \frac{7 + a}{2} + \frac{-37 - 5a}{2} + C = a \\ \frac{7 + a - 37 - 5a}{2} + C = a \\ \frac{-30 - 4a}{2} + C = a \\ -15 - 2a + C = a \\ C = 3a + 15$$ اکنون $$b$$ را از جمله چهارم دنباله پیدا می‌کنیم: $$a_4 = 16A + 4B + C = b \\ 16\left(\frac{7 + a}{2}\right) + 4\left(\frac{-37 - 5a}{2}\right) + 3a + 15 = b \\ 8(7 + a) + 2(-37 - 5a) + 3a + 15 = b \\ 56 + 8a - 74 - 10a + 3a + 15 = b \\ 56 - 74 + 15 + (8a - 10a + 3a) = b \\ -3 + a = b$$ پس: $$b = a - 3$$ حالا به سوال برمی‌گردیم: $$2a - b = 2a - (a - 3) = 2a - a + 3 = a + 3$$ بنابراین، حاصل $$2a - b$$ برابر است با: $$a + 3$$ آیا نیاز به توضیحات بیشتر دارید یا سوالی دارید؟ 1. چگونه می‌توان جملات بعدی یک دنباله درجه دوم را محاسبه کرد؟ 2. معادلات خطی چطور حل می‌شوند؟ 3. اگر یک دنباله درجه سوم بود، چطور می‌توانستیم ضرایب را پیدا کنیم؟ 4. آیا همیشه می‌توان ضرایب یک دنباله درجه دوم را از سه جمله اول آن بدست آورد؟ 5. چگونه می‌توانیم یک دنباله را از روی یک سری داده‌های غیرخطی شناسایی کنیم؟ **نکته:** برای حل مسائل ریاضی پیچیده، از مشخص کردن تعداد مجهولات و تعداد معادلات برای یافتن ضرایب استفاده کنید.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Algebra
Quadratic Sequences
Linear Systems

Formulas

Quadratic sequence formula: a_n = An^2 + Bn + C
Linear equations for finding A, B, and C from sequence
Expression for finding 2a - b

Theorems

Solving systems of linear equations
Quadratic equation

Suitable Grade Level

Grades 9-11