Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan -x²+8×-12<0 untuk X€R

Kita diminta untuk menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:

\[
-x^2 + 8x - 12 < 0
\]

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

### 1. Ubah Pertidaksamaan Menjadi Persamaan
Kita mulai dengan mengubah pertidaksamaan menjadi persamaan untuk mencari nilai-nilai kritis:

\[
-x^2 + 8x - 12 = 0
\]

### 2. Kalikan Dengan -1 untuk Menyederhanakan
Agar lebih mudah dipecahkan, kita kalikan kedua sisi dengan -1 (ingat bahwa tanda pertidaksamaan akan berubah):

\[
x^2 - 8x + 12 = 0
\]

### 3. Selesaikan Persamaan Kuadrat
Sekarang, kita selesaikan persamaan kuadrat ini dengan mencari akar-akar dari persamaan tersebut menggunakan rumus kuadrat:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Dengan:
- \( a = 1 \)
- \( b = -8 \)
- \( c = 12 \)

Substitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus:

\[
x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(12)}}{2(1)}
\]

\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}
\]

\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2}
\]

\[
x = \frac{8 \pm 4}{2}
\]

Jadi, akar-akarnya adalah:

\[
x = \frac{8 + 4}{2} = 6 \quad \text{dan} \quad x = \frac{8 - 4}{2} = 2
\]

### 4. Tentukan Interval Penyelesaian
Dengan akar-akarnya \( x = 2 \) dan \( x = 6 \), kita dapat menentukan interval untuk \( x \). Interval-interval tersebut adalah:
- \( x < 2 \)
- \( 2 < x < 6 \)
- \( x > 6 \)

### 5. Uji Interval
Kita substitusi nilai-nilai di setiap interval ke dalam pertidaksamaan awal \( -x^2 + 8x - 12 < 0 \) untuk menentukan tanda dari setiap interval:

1. Untuk \( x < 2 \) (misalnya \( x = 0 \)):
   \[
   -0^2 + 8(0) - 12 = -12 \quad (\text{negatif, memenuhi})
   \]

2. Untuk \( 2 < x < 6 \) (misalnya \( x = 4 \)):
   \[
   -4^2 + 8(4) - 12 = -16 + 32 - 12 = 4 \quad (\text{positif, tidak memenuhi})
   \]

3. Untuk \( x > 6 \) (misalnya \( x = 8 \)):
   \[
   -8^2 + 8(8) - 12 = -64 + 64 - 12 = -12 \quad (\text{negatif, memenuhi})
   \]

### 6. Kesimpulan
Dari uji tanda tersebut, interval yang memenuhi pertidaksamaan adalah:

\[
x < 2 \quad \text{atau} \quad x > 6
\]

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah:

\[
\boxed{x \in (-\infty, 2) \cup (6, \infty)}
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan? 

Berikut beberapa pertanyaan terkait:
1. Bagaimana jika pertidaksamaan melibatkan pecahan?
2. Apa yang terjadi jika diskriminan negatif?
3. Bagaimana menentukan bentuk grafik dari fungsi kuadrat?
4. Bagaimana mengaplikasikan penyelesaian ini pada permasalahan nyata?
5. Bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan koefisien kompleks?

**Tip:** Selalu ingat untuk mengubah tanda pertidaksamaan ketika mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif.

Learn how to solve the quadratic inequality -x^2 + 8x - 12 < 0 with step-by-step instructions. This problem involves finding critical values, solving quadratic equations, and testing intervals. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation