2次不等式 x^2+3x+2 > 0 ... ① と, 2次関数 f(x)=x^2-2x-a^2+6α-3がある。ただし、aは定数とする。2次不等式①を満たすxの値の範囲において,y=f(x) のグラフがx軸とただ1つの共有点をもつようなαの値の範囲を求めよ。

与えられた問題を解いていきましょう。

**1. 2次不等式 \( x^2 + 3x + 2 > 0 \) の解を求める**

まず、この2次不等式を解きます。対応する方程式 \( x^2 + 3x + 2 = 0 \) の解を求めるために、因数分解を行います。

\[
x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) = 0
\]

よって、解は \( x = -1 \) と \( x = -2 \) です。この2つの解で数直線が分割され、以下の区間に分けられます。

1. \( x < -2 \)
2. \( -2 < x < -1 \)
3. \( x > -1 \)

次に、不等式の符号を調べます。テストポイントを各区間で代入して確認します。

- \( x = -3 \) のとき：\( (-3 + 1)(-3 + 2) = (-2)(-1) > 0 \)
- \( x = -1.5 \) のとき：\( (-1.5 + 1)(-1.5 + 2) = (-0.5)(0.5) < 0 \)
- \( x = 0 \) のとき：\( (0 + 1)(0 + 2) = 1 \times 2 > 0 \)

よって、2次不等式 \( x^2 + 3x + 2 > 0 \) の解は

\[
x < -2 \quad \text{または} \quad x > -1
\]

**2. 2次関数 \( f(x) = x^2 - 2x - a^2 + 6\alpha - 3 \) のグラフが x 軸と共有点を持つ条件**

次に、2次関数 \( f(x) = x^2 - 2x - a^2 + 6\alpha - 3 \) が x 軸と共有点を持つ条件を考えます。x 軸との共有点は、方程式 \( f(x) = 0 \) の解、すなわち

\[
x^2 - 2x - a^2 + 6\alpha - 3 = 0
\]

の解によって決まります。これを解の公式を使って解くと、

\[
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a^2 + 6\alpha - 3)}}{2 \cdot 1}
\]

\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4a^2 - 24\alpha + 12}}{2}
\]

\[
x = 1 \pm \sqrt{a^2 - 6\alpha + 4}
\]

**3. ただ1つの共有点を持つ条件**

グラフが x 軸とただ1つの共有点を持つためには、判別式が 0 である必要があります。すなわち、平方根の中身が 0 となる条件です。

\[
a^2 - 6\alpha + 4 = 0
\]

これを \( \alpha \) について解くと、

\[
6\alpha = a^2 + 4
\]

\[
\alpha = \frac{a^2 + 4}{6}
\]

**4. 範囲の確認**

2次不等式 \( x^2 + 3x + 2 > 0 \) を満たす \( x \) の範囲は \( x < -2 \) または \( x > -1 \) です。この範囲で、2次関数 \( f(x) = x^2 - 2x - a^2 + 6\alpha - 3 \) が x 軸とただ1つの共有点を持つような \( \alpha \) の範囲は、先ほど求めた \( \alpha = \frac{a^2 + 4}{6} \) によって定まります。

まとめると、2次不等式の範囲において、グラフが x 軸と1つの共有点を持つ条件は

\[
\alpha = \frac{a^2 + 4}{6}
\]

です。

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質問や詳細な説明が必要であればお知らせください。  
関連する質問を5つ挙げます。

1. 2次不等式の解き方の基本的なステップはどのように行いますか？
2. 2次関数の判別式を使って共有点を求める方法は他にありますか？
3. 因数分解を使った2次不等式の解法について、応用問題はどのように展開しますか？
4. \( f(x) = 0 \) の形からグラフと x 軸の交点の性質を確認する他の方法はありますか？
5. 定数 \( a \) の値によって、共有点の数はどのように変わりますか？

**Tip:** 2次関数のグラフが x 軸と接する条件は、判別式が0になることです。

2次不等式 x^2+3x+2 > 0 と, 2次関数 f(x)=x^2-2x-a^2+6α-3がある。ただし、aは定数とする。2次不等式を満たすxの値の範囲において,y=f(x) のグラフがx軸とただ1つの共有点をもつようなαの値の範囲を求めよ。

Find the solution to the quadratic inequality x^2 + 3x + 2 > 0 and determine the range of alpha for which the quadratic function f(x) = x^2 - 2x - a^2 + 6α - 3 intersects the x-axis at only one point. This step-by-step solution includes factorization, the quadratic formula, and the discriminant theorem.

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