Berapa banyak bilangan bulat n yang memenuhi pertidaksamaan berikut? 6n < (12n + 3) ½

Kita diberi pertidaksamaan berikut:

\[
6n < \sqrt{12n + 3}
\]

Mari kita selesaikan langkah demi langkah.

### Langkah 1: Kuadratkan kedua sisi

Untuk menghilangkan akar kuadrat di sisi kanan, kita bisa mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan:

\[
(6n)^2 < \left(\sqrt{12n + 3}\right)^2
\]

Ini menghasilkan:

\[
36n^2 < 12n + 3
\]

### Langkah 2: Pindahkan semua ke satu sisi

Kita bisa menyederhanakan persamaan di atas dengan memindahkan semua suku ke satu sisi:

\[
36n^2 - 12n - 3 < 0
\]

### Langkah 3: Faktorkan atau gunakan rumus kuadrat

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini, kita bisa menggunakan rumus kuadrat. Rumus kuadrat adalah:

\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Di sini \(a = 36\), \(b = -12\), dan \(c = -3\).

Mari kita hitung diskriminan \(b^2 - 4ac\):

\[
\Delta = (-12)^2 - 4(36)(-3) = 144 + 432 = 576
\]

### Langkah 4: Hitung nilai n

Sekarang, kita bisa menghitung nilai-nya:

\[
n = \frac{-(-12) \pm \sqrt{576}}{2(36)} = \frac{12 \pm 24}{72}
\]

Ini menghasilkan dua solusi:

\[
n_1 = \frac{12 + 24}{72} = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}
\]
\[
n_2 = \frac{12 - 24}{72} = \frac{-12}{72} = \frac{-1}{6}
\]

### Langkah 5: Nilai-nilai bilangan bulat

Karena \(n\) harus memenuhi pertidaksamaan \(36n^2 - 12n - 3 < 0\), maka kita harus melihat interval antara akar-akar tersebut. Interval tersebut adalah \( \frac{-1}{6} < n < \frac{1}{2} \).

Bilangan bulat yang berada di antara interval ini adalah **tidak ada**, karena tidak ada bilangan bulat di antara \(\frac{-1}{6}\) dan \(\frac{1}{2}\).

Jadi, **tidak ada** bilangan bulat \(n\) yang memenuhi pertidaksamaan ini.

Apakah Anda memiliki pertanyaan atau membutuhkan penjelasan lebih lanjut?

Berikut adalah 5 soal terkait:
1. Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan metode faktorisasi?
2. Apa itu rumus kuadrat dan kapan digunakan?
3. Bagaimana jika pertidaksamaan berbentuk \(\sqrt{ax + b}\) lebih rumit?
4. Apa yang dimaksud dengan diskriminan dalam persamaan kuadrat?
5. Apa hubungan antara akar-akar persamaan dan grafik parabola?

**Tip**: Saat mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan, pastikan tanda pertidaksamaan tetap konsisten, terutama ketika berhadapan dengan nilai negatif.

This problem demonstrates how to solve the quadratic inequality 6n < √(12n + 3) step-by-step, using the quadratic formula and analyzing the inequality for possible integer solutions. This exercise covers key algebraic concepts including square roots and quadratic inequalities. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation