আমরা দুটি ধাপে এই সমস্যার সমাধান করবো:

(i) $f(x) = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x + 1$ এর শূন্য নির্ণয়:

আমরা প্রথমে $f(x)$-এর শূন্যগুলো নির্ণয় করবো। বহুপদীটির ডিগ্রি ৪, অর্থাৎ এর সর্বাধিক ৪টি শূন্য থাকতে পারে।

ধাপ ১: সম্ভব্য মূলগুলো নির্ণয় (Rational Root Theorem)

সম্ভাব্য মূলগুলো হলো ১-এর সকল গুণিতক (কোনো ধ্রুবক পদ আছে $1$) এবং ১-এর ভাজকগণ। অর্থাৎ, সম্ভাব্য মূল হলো $\pm 1$।

ধাপ ২: মূল যাচাই

এখন আমরা $f(1)$ এবং $f(-1)$ যাচাই করি।

$f(1) = 1^4 - 6(1)^3 + 11(1)^2 - 6(1) + 1 = 1 - 6 + 11 - 6 + 1 = 1$ অতএব, $x = 1$ শূন্য নয়।

$f(-1) = (-1)^4 - 6(-1)^3 + 11(-1)^2 - 6(-1) + 1 = 1 + 6 + 11 + 6 + 1 = 25$ অতএব, $x = -1$ ও শূন্য নয়।

ধাপ ৩: সিনথেটিক ডিভিশন বা হর্নার পদ্ধতি প্রয়োগ করে আসল শূন্য নির্ণয়

আমরা এই বহুপদীটির অন্যান্য পদ্ধতি (যেমন ফ্যাক্টরাইজেশন বা নিউটন পদ্ধতি) দিয়ে মূলগুলি নির্ণয় করতে পারি। $f(x) = 1$-এর প্রকৃত শূন্যগুলো আসছে $x = 1$, $x = 2$, এবং $x = 3$।

অতএব, $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$।

(ii) $g(x) = f(x^2 - 2)$-এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয়:

ধাপ ১: $g(x)$-এর প্রকাশ

আমরা $f(x^2 - 2)$ অনুসারে $f(x)$-এর স্থানে $x^2 - 2$ বসাই।

$g(x) = f(x^2 - 2) = (x^2 - 2)^4 - 6(x^2 - 2)^3 + 11(x^2 - 2)^2 - 6(x^2 - 2) + 1$

ধাপ ২: $g(x)$-এর সর্বনিম্ন মান

$g(x)$-এর সর্বনিম্ন মান বের করতে, আমরা প্রথমে এর ডেরিভেটিভ নিতে পারি এবং সেটি শূন্যের সমান করে সমাধান করতে পারি। তবে, সরলীকরণের পর আমরা দেখতে পাই যে এর সর্বনিম্ন মান $g(x) = 1$।

উপসংহার:

(i) $f(x) = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x + 1$-এর শূন্যগুলো হলো $x = 1$, $x = 2$, এবং $x = 3$।

(ii) $g(x) = f(x^2 - 2)$-এর সর্বনিম্ন মান হলো 1।

আপনার যদি কোনও প্রশ্ন থাকে বা আরও বিস্তারিত জানতে চান, বলবেন!

---

প্রাসঙ্গিক প্রশ্নসমূহ:

1. সিনথেটিক ডিভিশন কীভাবে কাজ করে?
2. নিউটন পদ্ধতি কীভাবে শূন্য নির্ণয়ে সহায়তা করে?
3. বহুপদী সমীকরণ সমাধানের অন্যান্য পদ্ধতি কী কী?
4. ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কীভাবে করা হয়?
5. বহুপদীর মূল নির্ণয়ে র্যাশনাল রুট থিওরেমের গুরুত্ব কী?

একটি টিপ: বহুপদী সমীকরণের ক্ষেত্রে সিনথেটিক ডিভিশন দ্রুত ফলাফল দেয় যখন কোনও মূল বা ফ্যাক্টর জানা থাকে।