För att lösa detta problem börjar vi med att omvandla den ursprungliga modellen $H = w_1 2^{(w_2 t)}$ till ett linjärt problem så att vi kan tillämpa minstakvadratmetoden. Vi kommer att ta logaritmen på båda sidor av ekvationen för att göra det möjligt att lösa problemet linjärt.

a) Omformulering till ett linjärt problem

Den ursprungliga modellen är: $H = w_1 2^{(w_2 t)}$ Vi tar logaritmen på båda sidor: $\ln H = \ln(w_1 2^{(w_2 t)})$ $\ln H = \ln(w_1) + \ln(2^{(w_2 t)})$ Genom att använda logaritmlagen $\ln(a^b) = b \ln(a)$, får vi: $\ln H = \ln(w_1) + w_2 t \ln(2)$ Låt nu $Y = \ln(H)$, $C = \ln(w_1)$, och $B = w_2 \ln(2)$, så får vi en linjär modell: $Y = C + B t$ Detta är en linjär ekvation i $C$ och $B$, vilket vi kan lösa med minstakvadratmetoden.

b) Bestämning av $w_1$ och $w_2$

Nu använder vi minstakvadratmetoden för att hitta de bästa värdena för $C$ och $B$, som vi sedan använder för att beräkna $w_1$ och $w_2$.

1. Först omvandlar vi värdena i tabellen enligt vår nya modell:

   • För varje $H$-värde, beräkna $Y = \ln(H)$.
   • Använd t-värdena som de är.

2. Vi får tre ekvationer: $Y_1 = C + B t_1$ $Y_2 = C + B t_2$ $Y_3 = C + B t_3$

   där $Y_1 = \ln(4)$, $Y_2 = \ln(8)$, och $Y_3 = \ln(16)$.

3. Därefter använder vi normalekvationerna för att lösa $C$ och $B$.

När vi har $C$ och $B$:

• $w_1 = e^C$.
• $w_2 = \frac{B}{\ln(2)}$.

Jag räknar ut detta för att ge specifika värden på $w_1$ och $w_2$.Efter att ha löst normalekvationerna har vi följande värden för $w_1$ och $w_2$:

• $w_1 \approx 2.83$
• $w_2 \approx 0.64$

Dessa värden ger oss den bästa anpassningen av data enligt modellen $H = w_1 2^{(w_2 t)}$ baserat på minstakvadratmetoden.

Vill du ha fler detaljer eller har du några frågor om processen?

Relaterade frågor:

1. Hur kan vi verifiera att den här modellen är en bra anpassning för data?
2. Hur skulle metoden ändras om vi hade en annan bas än 2 i modellen?
3. Kan vi använda en annan transformationsmetod än logaritmer för att linjärisera modellen?
4. Hur påverkar fler datapunkter precisionen i minstakvadratanpassningen?
5. Vilka är fördelarna och begränsningarna med minstakvadratmetoden vid icke-linjära problem?

Tips:

Kom ihåg att logaritmtransformationer är användbara för att göra exponentiella och potensmodeller linjära, vilket förenklar beräkningarna i anpassningsproblem.