Para resolver exercícios como este, onde há potências muito grandes (como $55575^{101} \mod 9935116$), você pode usar redução modular repetida ou o teorema de Euler/Fermat, dependendo dos números. Aqui está o processo geral:

Passo 1: Usar Propriedades do Módulo

Podemos simplificar cálculos de potências usando: $(a \cdot b) \mod n = [(a \mod n) \cdot (b \mod n)] \mod n$ E também: $a^m \mod n = \left(a^{m \mod \phi(n)} \mod n\right)$ onde $\phi(n)$ é a função totiente de Euler. Isso reduz potências grandes para valores menores.

Passo 2: Reduzir a Base

Calcule primeiro $55575 \mod 9935116$. Isso ajuda a simplificar a base, pois estamos interessados apenas no resto.

Passo 3: Usar Exponenciação Modular

Para $55575^{101} \mod 9935116$, aplique exponenciação modular para evitar calcular diretamente a potência. A exponenciação modular é feita assim:

1. Comece com $\text{res} = 1$.
2. Multiplique a base $a$ (mod $n$) enquanto eleva ao expoente $b$, mas reduza mod $n$ a cada etapa.

Se precisar, posso detalhar os passos aplicados ao exercício específico. Deseja que eu faça os cálculos para este problema?

Perguntas Relativas:

1. O que é a função totiente de Euler e como ela ajuda na redução de potências?
2. Como se aplica o teorema de Fermat quando $n$ é primo?
3. Qual é a importância de calcular $a \mod n$ antes de elevar à potência?
4. Existe uma diferença prática entre exponenciação modular e a aplicação direta de propriedades modulares?
5. Você gostaria de explorar um exemplo adicional para fixar a técnica?

Dica:

Para cálculos eficientes com números grandes, considere usar algoritmos como o algoritmo de exponenciação rápida modular. Isso economiza tempo ao dividir e conquistar o cálculo.